Física IV - FSC-5114

só um divisor

Circuito RLC alimentado por bateria

fig01
Figura 01: Circuito RLC com fem continua.

Vamos analisar o circuito RLC sujeito a uma fonte de tensão continua. Aplicamos a lei de Faraday para encontrar a equação diferencial que descreve o comportamento da corrente dentro do circuíto mostrado na figura (lembrando que o campo elétrico vá de $+ \rightarrow -$): \begin{aligned} \oint \vec{E}\cdot d\vec{l} & = -\frac{d\phi}{dt}\\ -\mathscr{E} + iR + \frac{q}{C} & = -L\frac{di}{dt} \nonumber \end{aligned} ou, depois de derivar em relação a $t$ \begin{equation} L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\frac{dq}{dt}=0\label{eq5} \end{equation} Essa equação tem a mesma forma que aquela que descreve o movimento harmônico amortecido com a seguinte equivalência \begin{eqnarray*} i & \leftrightarrow & x\\ L & \leftrightarrow & m\\ R & \leftrightarrow & \alpha\\ \frac{1}{C} & \leftrightarrow & k\:\left(m\omega^{2}\right) \nonumber \end{eqnarray*} Assim se diz que que $i$, $L$, $R$, e $1/C$ são os análogos elétricos do deslocamento, a massa, a constante de dissipação e a constante de elasticidade, receptivamente.

A solução da equação diferencial é \[ i(t)=i_{0}\exp\left[-\left(\frac{R}{2L}\right)t\right]\cos\left(\sqrt{\omega-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}t+\phi\right) \nonumber \] onde \[ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}} \nonumber \] A equação anterior pode se expressar ainda mais simples como \begin{equation} i(t)=i_{0}\exp\left[-\left(\frac{R}{2L}\right)t\right]\cos\left(\omega't+\phi\right)\label{eq6} \end{equation} com \[ \omega'=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}} \nonumber \] Observe que esta solução só é valida para resistência pequenas, isto é \begin{eqnarray*} \frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}} & > & 0\\ \frac{1}{LC} & > & \frac{R^{2}}{4L^{2}}\\ R & < & 2\sqrt{\frac{L}{C}} \nonumber \end{eqnarray*} Em quanto essa desigualdade se cumpra, teremos $\omega'$ real e a corrente terá a forma oscilatória amortecida. O fator que multiplica a função coseno em $\ref{eq6}$ diminui em um fator $1/e=0,368$ num intervalo de tempo $t_{0}$ para o qual \[ \frac{Rt_{0}}{2L}=1 \nonumber \] ou \[ t_{0}=\frac{2L}{R} \nonumber \] essa é a constante de tempo do circuito RLC.

Se se escolhe uma resistência tal que $\omega'=0$, então teremos \[ i(t)=i_{0}\exp\left[-\left(\frac{R}{2L}\right)t\right] \nonumber \] onde o circuito se diz que é criticamente amortecido. Se $R>2\sqrt{L/C}$, $\omega'$ imaginaria , o circuito estará sobreamortecido

Exemplo

Um circuito elétrico tem um capacitor de $5\mu F$, um indutor de $20H$, um resistor de $2000\Omega$ e um disjuntor. No inicio o capacitor é totalmente carregado por uma bateria de $200V$. Em $t=0$ é fechado o disjuntor, completando o circuito. (a) Como varia a corrente no circuito? (b) Quanto tempo é necessário para que a corrente atinga até $1\%$ de seu valor original?

Circuito RLC com fem alternada

fig01
Figura 02: Circuito RLC com fem alternada.

Nesta seção analisaremos o circuito alimentado por uma fem variável no tempo que tipicamente pode ser descrita pela equação \[ \mathscr{E} = \mathscr{E}_0 \cos \omega t \nonumber \] onde $\omega = 2\pi f$ é a frequência de oscilação da tensão de fem. Esse tipo de fem é a gerada nas usinas elétrica e chega a nossas casas. A tensão que existe nas tomadas das paredes aqui em Florianópolis oscila com uma frequência de $f=60Hz$ e a intensidade dessa tensão é de $\mathscr{E}_0 = 220\sqrt{2}\,$.

Aplicando a lei de Faraday a esse circuito \[ \mathscr{E}_{0}\cos\omega t=L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C} \nonumber \] tomando a deriva em relação a $t$ \begin{equation} -\mathscr{E}_{0}\omega\sin\omega t=L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}\label{eq1-1} \end{equation} Esta é uma equação diferencial não homogênea. A solução desse tipo de equação pode ser obtida \[ i=i_{t}+i_{s} \] onde $i_{t}$ é uma solução transitória e $i_{s}$ é uma solução estável. A solução $i_{t}$ é tal que depois de um certo tempo seu valor vai para zero. Vamos supor que a solução dessa equação tem a forma \[ i=i_{0}\cos\left(\omega t-\phi\right) \nonumber \] é de se esperar que a frequência angular da corrente seja a mesma que da fonte impulsora, contudo não necessariamente estas estarão em fase. \begin{eqnarray*} \frac{di}{dt} & = & -\omega i_{0}\sin\left(\omega t-\phi\right)\\ \frac{d^{2}i}{dt^{2}} & = & \omega^{2}i_{0}\cos\left(\omega t-\phi\right) \nonumber \end{eqnarray*} assim \[ -\mathscr{E}_{0}\omega\sin\omega t = -L\omega^{2}i_{0}\cos\left(\omega t-\phi\right) -R\omega i_{0}\sin\left(\omega t-\phi\right) +\frac{i_{0}}{C}\cos\left(\omega t-\phi\right) \nonumber \] usando \begin{eqnarray*} \sin\left(\omega t-\phi\right) & = & \sin\omega t\cos\phi-\cos\omega t\sin\phi\\ \cos\left(\omega t-\phi\right) & = & \cos\omega t\cos\phi+\sin\omega t\sin\phi \nonumber \end{eqnarray*} podemos escrever \begin{eqnarray} -\mathscr{E}_{0}\omega\sin\omega t & = & i_{0}\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right) \cos\omega t\cos\phi+\sin\omega t\sin\phi\nonumber -R\omega i_{0}\left(\sin\omega t\cos\phi-\cos\omega t\sin\phi\right)\label{eq2-1} \nonumber \end{eqnarray} A única forma que esta equação tenha solução é que todos os coeficientes do $\cos\omega t$ sejam iguais em ambos do membros ao igual que os coeficiente de $\sin\omega t$, assim \[ i_{0}\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right)\cos\phi+R\omega i_{0}\sin\phi=0 \nonumber \] de onde \begin{equation} \tan\phi=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\label{eq3-1} \end{equation} A partir desse resultado podemos traçar o chamado triangulo de impedância

fig03
Figura 03: Triangulo de impedância.

a partir desse triangulo podemos obter os valores para o $\sin\phi$ e $\cos\phi$. Igualando os coeficientes do $\sin\omega t$ \[ -\mathscr{E}_{0}\omega=i_{0}\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right)\sin\phi-R\omega i_{0}\cos\phi \nonumber \] \begin{eqnarray} \mathscr{E_{0}} & = & i_{0}\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\nonumber \\ & & -Ri_{0}\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\label{eq4} \end{eqnarray} ou, finalmente \begin{equation} i_{0}=\frac{\mathscr{E_{0}}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\equiv\frac{\mathscr{E_{0}}}{Z}\label{eq5-1} \end{equation} onde \begin{equation} Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}\label{eq6-1} \end{equation} grandeza conhecida como impedância do circuito $RLC$, finalmente podemos escrever \[ i=\frac{\mathscr{E_{0}}}{Z}\cos\left(\omega t-\phi\right) \nonumber \] A expressão dada pela equação \ref{eq3-1} as vezes é escrita como \[ \tan\phi=\frac{X_{L}-X_{C}}{R} \nonumber \] onde \[ X_{L}=\omega L \nonumber \] é a reatância indutiva e \[ X_{C}=\frac{1}{\omega C} \nonumber \] é a reatância capacitiva. A unidade de $X_{L}$ e $X_{C}$ é o $\Omega$

Exemplo

Um circuito RLC tem uma resistência de $500\Omega$ e uma indutância de $20H$ . A capacitância $C$ pode variar. Se a voltagem $CA$ aplicada é de $60Hz$ com amplitude de $150V$, encontre (a) o valor de $C$ que da a máxima amplitude $I_{0}$ da corrente e (b) o valor desta corrente máxima. (c) Graficar $i_{0}$ em função de $\omega$ para os valores de $R,L,C$. repetir utilizando $50$ e $5\Omega$.

Fasores

Na seção anterior foi descrito um calculo analítico que nos permitiu encontrar a solução matemática, para o estado estacionário, de um circuito RLC. Nesta seção descreveremos a mesma solução utilizando elementos geométricos que, além de facilitara a realização dos cálculos, deixarão ainda mais claros como se dá a distribuição de energia dentro do circuito. Para tal fim é necessário introduzir o conceito de fasor.

Como foi mostrado, todas nossas soluções são do tipo senoidal, assim resulta clara a possibilidade de se aplicar uma representação diagramática como a mostrada na figura \ref{fig1-2}. A ideia é construir um vetor que tenha por magnitude o valor da grandeza a ser analisada ($V$, $i$ ou $Z$) mas que gire em torno do eixo com uma frequência angular igual à frequência da solução, $\omega$. A projeção desse vetor,ao tempo $t$, no eixo $x$ nos dá o valor da grandeza. A fase $\phi$ está relacionada com o valor do ângulo no instante $t=0$, assim a um tempo qualquer, diferente de zero, teremos o fasor como mostrado na figura.

fig04
Figura 04: A fase está relacionada com o valor inicial do ângulo.

Como tudo o relacionado a rotações, o angulo é medido no sentido anti-horário. Dessa forma, a corrente no circuito estará dada por \[ i=i_{0}\cos\left(\omega t-\phi\right) \nonumber \] a diferença de potencial na resistência será \begin{eqnarray*} V_{R} & = & iR\\ & = & i_{0}R\cos\left(\omega t-\phi\right) \nonumber \end{eqnarray*} na indutância \begin{eqnarray} V_{L} & = & L\frac{di}{dt}\nonumber \\ & = & -\omega Li_{0}\sin\left(\omega t-\phi\right)\nonumber \\ & & \omega Li_{0}\cos\left(\omega t-\phi+\frac{\pi}{2}\right)\label{eq7} \end{eqnarray} dado que $\cos\left(\theta+\pi/2\right)=-\sin\theta$, no capacitor \[ V_{C}=\frac{q}{C} \nonumber \] como \begin{eqnarray} q & = & i_{0}\int\cos\left(\omega t-\phi\right)dt\\ & = & \frac{i_{0}}{\omega}\sin\left(\omega t-\phi\right)\\ & = & \frac{i_{0}}{\omega}\cos\left(\omega t-\phi-\frac{\pi}{2}\right)\label{eq8} \end{eqnarray} de forma que \begin{equation} V_{c}=\frac{i_{0}}{\omega C}\cos\left(\omega t-\phi-\frac{\pi}{2}\right)\label{eq9} \end{equation} Da equação $\ref{eq8}$ podemos ver que a voltagem no indutor está adiantada em $90^{\circ}$ em quanto que no capacitor (equação \ref{eq9}) está retrasada em $90^{\circ}$.