Física IV - FSC-5114

só um divisor

Circuito LC

fig01
Figura 01: Circuito LC.

Vamos analisar o circuito formado por um capacitor e um indutor. Inicialmente consideraremos que em $t = 0$ temos em serie um uma bateria $\mathscr{E}$, um capacitor $C$ e um indutor $L$, isso implica que o disjuntor da figura acima é colocado na posição a.

Para encontrar a equação que descreve esse circuito tentamos aplicar a lei de Kirchhoff, mas essa lei nos diz que \begin{aligned} \sum_i V_i & = 0\\ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} &= 0 \nonumber \end{aligned} O que não é valido neste circuíto já que tem um indutor, assim recorremos à lei de de Faraday, \begin{aligned} \oint \vec{E}\cdot d\vec{l} & = -\frac{d\phi}{dt}\\ -\mathscr{E} + \frac{q}{C} & = -L\frac{di}{dt} \nonumber \end{aligned} ou \begin{equation} \mathscr{E}=L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C} \nonumber \end{equation} derivando em relação a $t$ \begin{equation} \frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}\frac{dq}{dt} = 0 \nonumber \end{equation} \begin{equation} \frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,i = 0 \label{eq1} \end{equation} Essa equação tem a mesma forma que a equação que se obteve para o caso do oscilador bloco-Mola. Essa equação é uma equação diferencial de II ordem com coeficientes constante. Similarmente ao que foi feito para o caso do sistema bloco-Mola testamos a seguinte solução \begin{equation} i=i_{0}\cos\left(\omega t+\phi\right)\label{eq3} \end{equation} substituindo na equação, obtemos \[ \omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}=2\pi f=\frac{2\pi}{T} \nonumber \] onde $\omega$ é a frequência angular, $f$ é a frequência e $T$ é o período. Na equação $i_{0}$ é a amplitude de oscilação da corrente e $\phi$ é a fase.

Exemplo 01

Um capacitor de $2\mu F$ e um indutor de $0.5H$ estão ligado a uma bateria de $12V$. Em $t=0$ o capacitor está descargado é fechado um disjuntor, estabelecendo assim um circuito completo. (a) Como varia a corrente com o tempo? (b) Encontre a carga do capacitor em função do tempo, (c) Obter uma expressão para a diferença de potencial através do indutor

Solução

A frequência angular do sistema é \begin{eqnarray*} \omega & = & \sqrt{\frac{1}{LC}}\\ & = & \sqrt{\frac{1}{\left(2\times10^{-6}\right)\left(0.5\right)}}\\ & = & 10^{3}rad/s \nonumber \end{eqnarray*} Em $t=0$ temos $i=q=0$, colocando em \ref{eq3} \[ i=i_{0}\cos\phi=0 \nonumber \] de onde \[ \phi=\pm\frac{\pi}{2} \nonumber \] Como em $t=0$ não tem carga, toda a diferença de potencial da bateria aparece no indutor, assim \begin{eqnarray*} \mathscr{E} & = & L\frac{di}{dt}\\ & = & -i_{0}L\omega\sin\phi \nonumber \end{eqnarray*} de onde \[ i_{0}=-\frac{\mathscr{E}}{L\omega\sin\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)} \nonumber \] esperamos que $i_{0}>0$ então \[ \phi=-\frac{\pi}{2} \nonumber \] substituindo o valor de $\omega$ \[ i_{0}=\mathscr{E}\sqrt{\frac{C}{L}} \nonumber \] dessa forma \begin{eqnarray*} i & = & \frac{\mathscr{E}}{L\omega}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\\ & = & \frac{\mathscr{E}}{L\omega}\sin\left(\omega t\right) \nonumber \end{eqnarray*} colocando os valores obtemos \[ i=0.024\sin\left(1000t\right) \nonumber \] Para encontrar a carga no capacitor, lembramos que \[ i=\frac{dq}{dt} \nonumber \] \[ dq=idt \nonumber \] de onde, podemos calcular a carga no capacitor \begin{eqnarray*} q & = & \frac{\mathscr{E}}{L\omega}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega t\right)dt\\ & = & \frac{\mathscr{E}}{L\omega^{2}}\left[-\cos\omega t\right]_{0}^{t}\\ & = & \frac{\mathscr{E}}{L\frac{1}{LC}}\left[1-\cos\omega t\right]\\ & & \mathscr{E}C\left[1-\cos\omega t\right] \nonumber \end{eqnarray*} assim, a diferença de potencial no capacitor \begin{eqnarray*} \Delta V_{c} & = & \frac{q}{C}\\ & = & \mathscr{E}\left[1-\cos\omega t\right] \nonumber \end{eqnarray*} Podemos também calcular a diferença de potencial no indutor \begin{eqnarray*} \Delta V_{L} & = & L\frac{di}{dt}\\ & = & \mathscr{E}\cos\omega t \nonumber \end{eqnarray*} Observando o gráfico de $V_{L}$ e $V_{c}$

Figura 02: $V_l$ e $V_c$ como função do tempo.

vemos que a diferença de potencial entre o capacitor e o indutor é de $90^{\circ}$, de fato, o capacitor está atrasado em relação ao indutor.

Consideração energéticas

Multiplicando por $i$ a equação \ref{eq1} \begin{eqnarray*} \mathscr{E}i & = & Li\frac{di}{dt}+\frac{iq}{C}\\ & & Li\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}\frac{dq}{dt}\\ & = & \frac{1}{2}L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+\frac{1}{2C}\frac{d^{2}q}{dt} \nonumber \end{eqnarray*} ou seja \[ \mathscr{E}i=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}LI^{2}+\frac{q^{2}}{2C}\right) \nonumber \] O membro à esquerda é a energia fornecida pela bateria. Como $i$ oscila, então a energia oscila. É interessante observar que se a potencia fornecida pela fonte fosse zero, teríamos que a energia no circuito se conserva e fica oscilando entre $L$ e $C$ . Para ver isto mais facilmente fazemos \begin{eqnarray*} L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C} & = & 0\\ \frac{d^{2}q}{dt^{2}} & = & -\frac{q}{LC} \nonumber \end{eqnarray*} igualmente, esta é o mesmo tipo de equação diferencial que a anterior, assim \[ q=q_{0}\cos\left(\omega t+\phi\right) \] onde $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ e \[ i=-\omega q_{0}\sin\left(\omega t+\phi\right) \nonumber \] e \[ \frac{di}{dt}=-\frac{q_{0}}{LC}\cos\left(\omega t+\phi\right) \nonumber \] Como $q=Q_{0}$ em $t=0$ e $i=0$, temos \begin{eqnarray*} Q_{0} & = & q_{0}\cos\phi\\ 0 & = & \omega q_{0}\sin\phi \nonumber \end{eqnarray*} disto vemos que $\phi=0$, assim \[ q=q_{0}\cos\left(\omega t\right) \] \[ i=-\omega q_{0}\sin\left(\omega t\right) \nonumber \] \[ \frac{di}{dt}=-\frac{q_{0}}{LC}\cos\left(\omega t\right) \nonumber \] De aqui é fácil ver que \[ \Delta V_{C}=\frac{q}{C}=\frac{Q_{0}}{C}\cos\omega t=\Delta V_{0}\cos\omega t \nonumber \] \begin{eqnarray*} \Delta V_{L} & = & L\frac{di}{dt}\\ & = & -\Delta V_{0}\cos\omega t\\ & = & \Delta V_{0}\cos\left(\omega t-\pi\right) \nonumber \end{eqnarray*} Novamente temos um comportamento desfasado em $90^{\circ}$. Dentro do circuito temos conservação de energia. Inicialmente temos o capacitor carregado no seu valor máximo.

fig02
Figura 03: Ciclo da energia no circuito LC.
A medida que passa o tempo vai diminuído a corrente no circuito, como resultado disso o fluxo através do indutor diminui, o que resulta numa fem induzida a qual tenta compensar a perda o que resulta no subsequente carregamento do capacitor, mas desta vez polarizado ao contrario. Novamente o capacitor proporciona uma diferença de potencia que resulta numa corrente, mas essa corrente tem sentido oposto a anterior e se repete o ciclo novamente.
A energia armazenada no campo elétrico está dada por \begin{eqnarray*} U_{E} & = & \frac{q^{2}}{2C}\\ & = & \frac{Q_{0}^{2}}{2C}\cos^{2}\omega t \nonumber \end{eqnarray*} e no indutor \begin{eqnarray*} U_{B} & = & \frac{1}{2}Li^{2}\\ & = & \frac{1}{2}L\omega^{2}Q_{0}^{2}\sin^{2}\omega t \nonumber \end{eqnarray*} como $\omega^{2}=1/LC$ \[ U_{B}=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}\sin^{2}\omega t \nonumber \] de onde \begin{eqnarray*} U & = & U_{E}+U_{B}\\ & = & \frac{Q^{2}}{2C} \nonumber \end{eqnarray*} que, como dito anteriormente, é constante e armazenada no circuito.

Figura 02: Energia magnética e elétrica como função do tempo.

O comportamento observado da energia é muito similar ao observado quando foi analisado o problema massa-mola onde podemos comparar a energia potencial armazenada na mola $kx^{2}/2$ com a energia no capacitor $q^{2}/2C$, em quanto que a energia cinética $mv^{2}/2$ é comparável à energia magnética, $Li^{2}/2$.