Física IV - FSC-5114

só um divisor

Teoria de Lamor do diamagnetismo

Como já foi mencionado, é possível que um material tenha momento magnético resultante igual a zero. Independente de efeitos térmicos, podemos ter materiais onde o momento linear dos elétrons seja oposto, consequentemente o momento magnético terá sentido oposto, resultando num momento global nulo. Ou termos acoplamento locais de spin resultando num momento magnético nulo. Em qualquer um dos casos mencionado a aplicação de um campo magnético externo pode proporcionar energia ao sistema e alinhar os dipolos numa mesma direção.
Quando se aplica um campo magnético externo este interatua com a orbita dos elétrons, devido ao fluxo magnético variável, de forma a se obter um momento magnético induzido. Segundo a lei de Lenz a direção desse momento magnético deve ser oposta à do campo magnético externo, pelo que se obtém uma susceptibilidade diamagnética débil. Esse efeito pode ser ocultado pelo paramagnetismo mais intenso. Esse efeito é conhecido como diamagnetismo de Lamor.

exemplo 1
Figura 01: Força magnética exercida sobre elétrons atômicos que circulam em (a) sentido horário (b) anti-horário.

Sabemos que para qualquer elétron dentro de um átomo, a força elétrica é a responsável pela força centrípeta, assim \[ mr_{0}\omega_{0}^{2} = \frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{o}^{2}} \nonumber \] \[ \omega_{0}^{2} = \frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr_{o}^{3}} \label{eq_w0} \] Vamos considerar os elétrons descritos na figura 01, os quais giram em sentidos opostos, mas com a mesma velocidade angular dada pela expressão anterior. Os momentos magnéticos estão dados por \begin{aligned} \mu_{1} & = & iA\\ & = & \frac{\left(-e\right)\omega_{0}}{2\pi}\left(\pi r_{0}^{2}\right) \end{aligned} \[ \mu_{2}=\frac{\left(-e\right)\left(-\omega_{0}\right)}{2\pi}\left(\pi r_{0}^{2}\right) \nonumber \] Até aqui temos considerado que o campo externo $B$ é zero. Ao aplicarmos um campo externo aparece uma força magnética dada por $q\left(\vec{v}\times\vec{B}\right)$ o que produz um aumento na força centrípeta do elétron $a$ e uma diminuição no elétron $b$. Assim, para o elétron $a$ temos \[ F_{1}=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{o}^{2}}-evB=-mr_{0}\omega \nonumber \] como $v=r_{0}\omega$ \[ F_{1}=-mr_{0}\omega_{0}^{2}-er_{0}\omega B=-mr_{0}\omega^{2} \nonumber \] para o elétron $b$ \[ F_{2}=-mr_{0}\omega_{0}^{2}+er_{0}\omega B=-mr_{0}\omega^{2} \nonumber \] dividindo por $mr_{0}^{2}$ ambas equações \begin{equation} \omega^{2}-2\omega\omega_{L}-\omega_{0}^{2}=0\label{eq1} \end{equation} e \begin{equation} \omega^{2}+2\omega\omega_{L}-\omega_{0}^{2}=0\label{eq2} \end{equation} onde \begin{equation} \omega_{L}=\frac{eB}{2m} \label{eq_frq_Lamor} \end{equation} é a frequência de Lamor.
Somando $\omega_{L}^{2}$ a ambos lados da equações \ref{eq31} \begin{aligned} \omega^{2}-2\omega\omega_{L}+\omega_{L}^{2} & = & \omega_{0}^{2}+\omega_{L}^{2} \end{aligned} ou seja \begin{equation} \left(\omega-\omega_{L}\right)^{2}=\omega_{0}^{2}+\omega_{L}^{2}\label{eq3} \end{equation} De \ref{eq_w0} e \ref{eq_frq_Lamor} \[ \frac{\omega_{L}}{\omega}=B\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_{0}r_{0}^{3}}{m_{e}Z}} \] Usando $B=100T$, $1\: mol$ ocupando $\approx 1cm^{3}\Rightarrow 6\times 10^{22}$ atomos, assim cada átomo ocupa $1,7\times 10^{-29}m^{3} \sim 2r_{0}$, então é razoável supor $r_{0} \sim 1,3 \times 10^{-10} m$. $\frac{\omega_{L}}{\omega}$ será máxima quando $Z$ seja mínima $\Rightarrow Z=1$, com $\varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}F/m$ e $m_{e}=9,11\times10^{-31}kg\;\;\;$ obtemos que \[ \frac{\omega_{L}}{\omega}\approx8,2\times10^{-4} \] isto é $\omega_{L}\ll\omega\;\;$, assim podemos despreciar $\omega_{L}^{2}$ frente a $\omega^{2}$ em \ref{eq3}, assim \[ \omega=\omega_{0}+\omega_{L}=\omega_{1} \] para o elétron $a$, para o elétron $b$ \[ \omega=\omega_{0}-\omega_{L}=\omega_{2} \] Assim, o momento magnético devido ao átomo $a$ na presença do campo externo $B$ é \[ \mu_{1}=\frac{\left(-e\right)\omega_{1}}{2\pi}\left(\pi r_{0}^{2}\right)=-\frac{er_{0}^{2}}{2}\left(\omega_{0}+\omega_{L}\right) \] e para o elétron $b$ \[ \mu_{1}=\frac{\left(-e\right)\omega_{2}}{2\pi}\left(\pi r_{0}^{2}\right)=\frac{er_{0}^{2}}{2}\left(\omega_{0}-\omega_{L}\right) \] Isto implica que o momento magnético total por átomo é \begin{eqnarray*} \mu & = & \mu_{1}+\mu_{2}\\ & = & -er_{0}^{2}\omega_{L}\\ & = & -\frac{e^{2}r_{0}^{2}B}{2m} \nonumber \end{eqnarray*} Se $n$ é o número de átomos por unidade de volume, então o momento magnético por unidade de volume, que é a magnetização está dada por \[ M=-n\frac{e^{2}r_{0}^{2}B}{2m} \] e como $M=\chi H=\chi\left(B/\mu_{0}\right)$, então \[ \chi=\frac{M}{H}=\frac{\mu_{0}}{B}n\mu_{m} \] \[ \chi=-n\frac{e^{2}r_{0}^{2}}{2m} \] Para um átomo típico $n\approx 6\times 10^{28}$ e $r_{0}\sim 1,3\times 10^{-10}m$, onde \[ \chi_{m}=-1,8\times10^{-5} \] que concorda na ordem de magnitude dos valores mostrado na tabela da aula anterior. Observe que esse susceptividade é independente da temperatura, o que está em acordo com os experimentos.

Paramagnetismo clássico de uma substancia com momento magnético permanentes

Como dizemos no inicio deste estudo, mesmo que uma substancia apresente momento magnético diferente de zero, o efeito da temperatura sobre a orientação dos dipolos magnéticos é desordenar sua configuração de forma a se obter uma distribuição aleatórias de direções dos momentos magnéticos, dando como resultado um momento neto igual a zero.

exemplo 1
Figura 02: contribuição do momento magnético parcialmente alinhado.

Mesmo que um campo externo seja aplicado, nunca obteremos uma alinhamento perfeito dos dipolos, resultado da disputa entre o desordem introduzido pela agitação térmica e o campo alinhador. Dessa forma, se supormos que o campo externo está aplicado ao longo do eixo $z$ a contribuição os dipolos terão nessa direção uma componente dada por \begin{equation} \mu_{z}=\mu\cos\theta \label{eq30} \end{equation} o que que dizer que o valor médio de cada um dos dipolos, $\overline{\mu_{z}}$, está dado por \[ \overline{\mu_{z}}=\mu\overline{\cos\theta} \nonumber \] A magnetização se obtém multiplicando o momento dipolar médio com o número de dipolos por unidade de volume, $n$ \begin{equation} M=n\mu\overline{\cos\theta} \label{eq31} \end{equation} A fim de calcular o valor do $\overline{\cos\theta}$ temos que saber qual é a distribuição que governa os dipolos. De acordo a distribuição de Maxwell-Boltzmann, a probabilidade de que se encontre um conjunto de momento atômico orientado dentro da área sombreada $dA$ da figura

exemplo 1
Figura 03: O calcula da probabilidade de que um dipolo orientado aleatoriamente com momento magnético $\mu$ este dentro da área sombreada $dA$, depende simplesmente em avaliar a razão $dA/A$.

esta dado por \[ C\exp\left(-\frac{U_{m}}{kT}\right)dA \nonumber \] onde $C$ é uma consta e \[ U_{m}=-\mu B\cos\theta \nonumber \] Se $N\left(\theta,\phi\right)dA$ é o número de dipolos orientados dentro de $dA$, então \begin{equation} N\left(\theta,\phi\right)dA=C\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)dA\label{eq32} \end{equation} Por definição, o valor médio do coseno do ângulo de orientação dos dipolos está dado pelo produto da distribuição de dipolos dividido pelo numero total de dipolos \[ \overline{\cos\theta}=\frac{\int N\left(\theta,\phi\right)\cos\theta dA}{\int N\left(\theta,\phi\right)dA} \nonumber \] como $dA=\mu^{2}\sin\theta d\theta d\phi$, então \[ \overline{\cos\theta}=\frac{\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)\cos\theta\sin\theta d\phi d\theta}{\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)\sin\theta d\phi d\theta} \nonumber \] \begin{eqnarray} \overline{\cos\theta} & = & \frac{\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)\cos\theta\sin\theta d\theta\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}d\phi}{\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)\sin\theta d\theta\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}d\phi}\\ & = & \frac{\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)\cos\theta\sin\theta d\theta}{\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\exp\left(\frac{\mu B\cos\theta}{kT}\right)\sin\theta d\theta} \nonumber \end{eqnarray} se fazemos \begin{equation} \alpha=\frac{\mu B}{kt}\label{eq321} \end{equation} e \[ w=\cos\theta\qquad\qquad dw=-\sin\theta d\theta \nonumber \] temos que quando $\theta=0\Rightarrow w=1$ e $\theta=\pi\Rightarrow w=-1$ \begin{eqnarray} \overline{\cos\theta} & = & \frac{\int_{-1}^{1}w\exp\left(\alpha w\right)dw}{\int_{-1}^{1}\exp\left(\alpha w\right)dw}\\ & = & \frac{\left[\frac{\exp\left(\alpha w\right)}{\alpha^{2}}\left(\alpha w-1\right)\right]_{-1}^{1}}{\left[\frac{\exp\left(\alpha w\right)}{\alpha^{2}}\right]_{-1}^{1}}\\ & = & \frac{1}{\alpha}\left\{ \frac{\exp\left(\alpha \right)\left[\alpha-1\right] + \exp\left(-\alpha \right)\left[\alpha+1\right]\;\;}{\exp\left(\alpha \right)-\exp\left(-\alpha \right)}\right\} \\ & = & \frac{1}{\alpha}\left\{ \frac{\alpha\left[\exp\left(\alpha \right)+\exp\left(-\alpha \right)\;\right] - \left[\exp\left(\alpha \right)-\exp\left(-\alpha \right)\right]}{\exp\left(\alpha \right)-\exp\left(-\alpha \right)}\;\;\;\;\right\} \nonumber \end{eqnarray} ou \[ \overline{\cos\theta} = \frac{\exp\left(\alpha w\right)+\exp\left(-\alpha w\right)}{\exp\left(\alpha w\right)-\exp\left(-\alpha w\right)}-\frac{1}{\alpha} \nonumber \] assim a equação \ref{eq31} \begin{equation} M = n \mu \left(\frac{\exp\left(\alpha w\right)+\exp\left(-\alpha w\right)}{\exp\left(\alpha w\right)-\exp\left(-\alpha w\right)}-\frac{1}{\alpha}\right)=n\mu f\left(\alpha\right) \label{eq33} \end{equation} Como os dipolos são magneticamente independente entre si, a permeabilidade experimentada pelos dipolos é essencialmente a do vácuo, dessa forma podemos escrever a suscetividade como sendo igual a \[ \chi_{m}=\frac{M}{H}=\frac{\mu_{0}M}{B}=\frac{n\mu f\left(\alpha\right)}{B} \nonumber \]


Figura 04: Gráfico de $f(\alpha)$ - em azul - dado pela equação \ref{eq33}. O eixo $x=\alpha$ e o eixo $y=f(\alpha)$.

Observando a figura \ref{fig4} notamos que para valores pequenos de $\alpha$ o comportamento é quase linear com declividade de $1/3$. Esse resultado é possível de ser demonstrado se consideramos \[ \exp\alpha\approx1+\alpha+\frac{\alpha^{2}}{2}+\frac{\alpha^{3}}{3}+\dots \nonumber \] \[ \lim_{\alpha\rightarrow0}\exp\left(\alpha\right)\approx1+\alpha \nonumber \] assim \begin{eqnarray*} f\left(\alpha\right) & = & \frac{\int_{-1}^{1}w\exp\left(\alpha w\right)dw}{\int_{-1}^{1}\exp\left(\alpha w\right)dw}\\ & = & \frac{\int_{-1}^{1}w\left(1+\alpha w\right)dw}{\int_{-1}^{1}\left(1+\alpha w\right)dw}\\ & = & \frac{\left[\frac{w^{2}}{2}+\frac{\alpha w^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}}{\left[w+\frac{\alpha w^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}}\\ & = & \frac{\alpha}{3} \nonumber \end{eqnarray*} Dessa forma, quando $\alpha\ll1$ e com $\alpha=\mu B/kt$ (eq. \ref{eq321}), temos \[ M=\frac{n\mu^{2}B}{3kT} \nonumber \] e \begin{equation} \chi_{m}=\frac{M}{H}=\frac{n\mu^{2}}{3kT}\label{eq34} \end{equation} Nessas circunstancias $\chi_{m}$ é constante em módulo e independe do campo aplicado, contudo depende inversamente da temperatura. Essa dependência ocorre porque a mediada que $T$ aumenta, aumenta a energia térmica diminuindo assim o alinhamento. Esse resultado obedece a chamada lei de Curie (descoberta por Pierre Curie em 1895) \[ \chi_{m}=\frac{C}{T} \nonumber \] A constante $C$ chama-se constante de Curie.
No caso de campos magnéticos muito intenso, observamos que existe um valor de saturação assintótico. Este resultado está fisicamente correto já que esperamos que para campos suficientemente intensos todos os dipolos estejam alinhados e para esse caso o momento total será o número de momentos dipolares vezes $\mu$ de cada partícula. Se na equação \ref{eq34} utilizamos $n=6\times10^{28}m^{-3}$, $\mu=9,27\times10^{24}A\cdot m$ encontramos que para temperatura ambiente $300K$, $\chi_{m}=5,2\times10^{-4}$, resultado este que coincide com o observado em algumas sais paramagnéticas, mas muito mais elevado de que aquele observado para metais ferromagnético. A razão é que os íons destes metais tem momento magnético neto zero e nem todos os elétrons de condução podem alinhar-se já que estariam violando certas regras da mecânica quântica.

Materiais Ferromagnéticos

Nestas substancias a interação entre os momentos vizinhos é tão forte que é quase que desnecessário a aplicação de campos externos para obter o alinhamento dos momento. Como resultado disto estes matérias apresentam permeabilidade magnética muito grande e, em geral, podem ser magnetizados permanentemente. Além disto, a susceptividade magnética não é uma função linear do campo aplicado.

Igualmente como acontece com os materiais paramagnético, as forças dipolares são muito fracas para vencer as os efeitos randômicos introduzidos pela temperatura. A única forma de explicar esse efeito é através de quântica. Calculo fora do escopo deste curso mostram que a origem do magnetismo está num tipo de interação conhecido como interação de tronca a qual favorece o acoplamento de elétrons com spins antiparalelos isto é, 2 átomos com spin paralelos estão mais afastados entre si que dois átomos com spins antiparalelos.


Figura 05: Magnetização espontânea $M_{s}$ versus temperatura num material ferromagnético. $T_{C}$ é a temperatura de Curie ferromagnética.

Ainda que o acoplamento entre os eletros com spin antiparalelo seja bem intenso, há uma temperatura em que os efeitos térmicos vencem esse acoplamento. Acima dessa temperatura os materiais ferromagnéticos perdem sua magnetização e passam a se comportar essencialmente como um material paramagnético, onde a susceptibilidade está dada por \[ \chi_{m}=\frac{C}{T-T_{C}} \nonumber \] A essa temperatura, $T_{C}$, se lhe chama de Curie.
Baseado na suas propriedade magnéticas, as substancias ferromagnéticas se classificam como sendo magneticamente duras, que são as substancias que não perdem sua magnetização ainda que a corrente que alimenta o campo externo pare, e as substancia magneticamente suave, que perdem a sua magnetização com a eliminação do campo externo.

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Figura 06: Magnetização em função da intensidade magnética para o caso de uma amostra ferromagnética.

Analisaremos agora o que acontece com a magnetização de uma substancia magneticamente dura submetida a um campo externo. Suporemos que a amostra não está imantada e que o campo inicial é zero, assim partimos da origem. Aumentamos progressivamente o valor de $H$, os spin se alinham com o campo, provocando um incremento em $M$ quase linear com $H$, contudo atingimos um valor de saturação a medida que aumenta o número de spin alinhados, recorremos o percurso $OA$ na figura 06, esse valor de saturação é igual $M=n\mu$. Agora detemos o aumento do campo $H$ e iniciamos uma diminuição no seu módulo, como resultado o caminho seguido é não é o caminho $OA$ se não o trajeto $AB$. Quando o campo $H$ é igual a zero, no ponto $B$, existe uma grande quantidade dos dipolos magnéticos mantem sua orientação, $M_{r}$, que é conhecida como magnetização remanente. Agora invertemos o sentido do campo $H$, a magnetização da amostra continuara a diminuir até ser igual a zero para um valor de $H_{c}$ negativo conhecido como campo coercitivo. Diminuindo ainda mais o campo chegamos a um valor de saturação, em módulo igual ao do ponto $A$ porem em sentido oposto. Aumentando o valor de $H$ teremos que a curva percorrera o trajeto $DEFA$ que é oposto ao trajeto descrito ($ABCD$). Assim vemos que nesse processo, a magnetização não depende unicamente do campo magnetizante $H$, se não também da historia previa da amostra. O Ciclo fechado mostrado na figura 6 é conhecido como ciclo de histerese (do grego ``atraso'').

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Figura 07: Magnetização em função da intensidade magnética para o caso de uma amostra ferromagnética.

Como em materiais ferromagnéticos $\mu\gg1$ a corrente de Ampère é muito maior do que a corrente que cria o campo $H$ podemos escrever $B\approx\mu_{0}M$ de forma que devemos esperar uma curva muito similar à da figura 6, no caso em que substituímos $M$ por $B$, como se mostra na figura 7 . Suponhamos que a nossa amostra está dentro de um toro, se o campo $H$ repentinamente fosse desligado (por exemplo a fonte que gera a corrente fora desligada) teríamos uma corrente induzida nos fios do toro devido à autoindução $(\mathscr{E}=Nd\Phi/dt)$ que trataria de manter a corrente, porém esta diminuiria exponencialmente, com uma constante de tempo determinada pela pela autoindução da bobina e a resistência do circuito. Agora podemos calcular a energia magnética dissipada em qualquer intervalo de tempo $dt$ escrevendo, pela conservação da energia \[ dU_{m}+\mathscr{E}idt=0 \nonumber \] de onde \begin{eqnarray*} dU_{m} & = & -\mathscr{E}idt\\ & = & N\frac{d\Phi}{dt}idt\\ & = & Nid\Phi \nonumber \end{eqnarray*} Como $\Phi=BA$ e como a área do toro é constante, podemos escrever \[ d\Phi=AdB \nonumber \] como mostrado num exemplo anterior, para o caso do toroide \[ H=\frac{Ni}{2\pi r}=\frac{Ni}{\mathtt{l}} \nonumber \] ou seja \[ H\mathtt{l}=Ni \nonumber \] de forma que \[ dU_{m}=H\mathtt{l}AdB \nonumber \] \[ \frac{dU_{m}}{Vol}=HdB \nonumber \] \[ \frac{\Delta U_{m}}{Vol}=\int HdB \nonumber \] Assim, esse resultado permite calcular a variação da energia magnética resultante da variação da magnetização. Observe que ela corresponde à área limitada pela curva de histerese (ver figura 7). Assim mostramos que os campos magnéticos dentro da amostra realizam trabalho contra determinados processos dissipativos que resultam em conversão da energia magnética em energia térmica que eleva a temperatura da amostra. É interessante apontar que para o caso de materiais magneticamente duros as curvas de histereses tem uma alta remanência pelo que eles não são ideais como utilização núcleos magnéticos devido a suas altas taxas de perda de energia, por outra parte, são ideais para construir ímãs permanentes. Já no caso de alguns materiais ferromagnéticos e o ferro doce, são considerados materiais magnéticos suaves com remanências pequena o que indica que existem, internamente, poucos processos dissipativos que resistem à mudança da magnetização.

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Figura 08: Domínios magnéticos. Alinhamentos como resultado do campo externo.

Toda substancia ferromagnética presenta o fenômeno de formação de domínios (domínios de Weiss), que são regiões bem definidas onde todos os momentos estão alinhados. Um resultado da orientação de cada um desse domínios é a não existência de uma magnetização neta na amostra. Assim o efeito do campo externo é ampliar o tamanho de um determinado domínio de forma a se ter um super domínio com todos os momentos alinhados. A existência de domínio se deve a que a substancia tenta diminuir ao máximo a quantidade de energia armazenada no campo magnético. Um modelo "simples" que recolhe varias das propriedades dos sistemas ferromagnéticos e o chamado modelo de Ising.