Física IV - FSC-5114

só um divisor

Propriedades magnéticas da matéria

Conforme foi estudado no curso de Física III, a origem do magnetismo em ultima instancia são as correntes elétricas, então pq. há matérias magnéticos se por eles não circula uma corrente elétrica. Na verdade sim há correntes elétricas associadas a todos os materiais, Devemos lembrar que todo átomo é constituído por uma serie de elétrons que se movem em torno do núcleo, consequentemente há uma corrente elétrica associada a esse movimento de carga e assim um momento magnético. Além dessa corrente, cada elétron tem associado uma outra corrente vinculada à um movimento propriedade da partícula que não tem analogia clássica (alguns gostam de associar ao giro do elétron no seu eixo), essa propriedade é conhecida como spin. Agora, porque alguns materiais são magnéticos, outros são não magnéticos e até há alguns que podem ser convertidos em magnéticos, se todos eles tem elétrons? A resposta é que o magnetismo macroscópico está associado a uma luta de dois efeitos competitivos, o campos aplicados exteriormente ou os campos de origem atômicos que tendem a alinhar os dipolos magnéticos e a agitação térmica que provoca movimentos ao azar das partículas, produzindo uma distribuição completamente aleatória de momentos magnéticos correspondente a um momento neto igual a zero% (O primeiro a supor que o magnetismo tem origem em correntes internas dentro do material foi Ampère).

exemplo 4
Figura 01: Corrente superficial resultado da soma de todas as correntes internas.

Assim, para entender a origem do magnetismo em um material magnético ou magnetizável devemos considerar as correntes atômicas existentes no material. Consideremos que temos um material onde todos os dipolos estão alinhados (lembremos que o momento dipolar magnético de uma espira se define como $\vec{\mu}=i\vec{A}$, onde $\vec{A}$ é a o vetor área que tem direção dada pela regra da mão direita), dessa forma as corrente todas giram no mesmo sentido. Como se pode observar na figura 1 o resultado dessa configuração é uma corrente elétrica superficial $i_{m}$, assim podemos considerar esta corrente como a fonte do magnetismo do material, assim o momento magnético associado a essa corrente é \[ \mu_{m}=i_{m}A\label{eq_momMag} \] onde $A$ é a área transversal. Vale lembrar que essa corrente superficial é resultado da superposição de uma {}``plano'' específicos de tomos, por tanto, esperamos ter inúmero planos similares ao longo do corpo. Observe que podemos considerar que cada cela (que supomos contem uma corrente fundamental, como um átomo) possui um pequeno momento magnético: \[ \Delta\mu_{m}=i_{m}\Delta A \nonumber \] onde $\Delta A$ é a área de cada cela. Vamos definir uma grandeza que mede o momento magnético associado a um dados volume \[ \vec{M}=\lim_{\Delta V\rightarrow0}\frac{\Delta\vec{\mu}_{m}}{\Delta V}=\frac{d\vec{\mu}_{m}}{dV}\label{eq_defM} \] essa grandeza recebe o nome de magnetização associada ao elemento de volume. É evidente que, o momento dipolar total, independente da configuração atômica, é igual a \[ \vec{\mu}_{m}=\iiint\vec{M}\, dV \nonumber \]

exemplo 4
Figura 02: Material com forma toroidal magnetizado uniformemente.

A fim de encontrar uma relação entre $i_{m}$ e $M$ ($M$ pode ser medido em lab. ``facilmente'') consideremos uma bobina toroidal de $N$ voltas, construída sobre um núcleo feito de um material que pode adquirir uma magnetização (isto é, os campos internos vencem a agitação térmica). Pelos fios da bobina circula uma corrente $i$, e pela superfície do material magnetizável temos a corrente de magnetização atômica $i_{m}$ devido aos dipolos magnéticos. No interior do toro teremos dois campo, o campo $B$ e o campo $M$. A partir da equação \ref{eq_momMag} e \ref{eq_defM} podemos encontrar uma relação entre $i_{m}$ e $M$. Para isso vamos considera um elemento do toro, como mostra a figura 2 \[ M=\frac{d\mu_{m}}{dV}=\frac{Adi_{m}}{A\left(rd\theta\right)}=\frac{di_{m}}{rd\theta} \nonumber \] A quantidade de corrente (Quantidade significa o número de ``loop'' que existem nessa seção fina do toroide. Ao longo de todo ele esperamos que exista um número infinito desse ``loops''. Isso é muito similar ao que acontece com a diferença entre o campo gerado por um solenoide, $B=1/2\left(N/l\right)\mu_{0}i$, enquanto que para uma espira é $B=1/2\mu_{0}i/R$, isto é, no caso da espira temos que ele aumenta com $N$) distribuída sobre a superfície depende da quantidade de momentos que contribuem e essa quantidade está diretamente relacionado com a largura do elemento do toro. Si em todo o toro temos uma corrente $i_{m}$ então num elemento $ds=rd\theta$ teremos \[ di_{m}=\frac{rd\theta}{2\pi r}i_{m}=\frac{d\theta}{2\pi}i_{m} \nonumber \] dessa forma \[ M=\frac{1}{rd\theta}\left(\frac{d\theta}{2\pi}i_{m}\right)=\frac{i_{m}}{2\pi r} \nonumber \] ou \[ i_{m}=2\pi rM\label{eq_imToro} \] Observe que de \ref{eq_defM} $\vec{\mu}$ e $\vec{M}$ são paralelos, da figura 2 observamos $\vec{\mu}$ e $\vec{B}$ são paralelos, consequentemente $\vec{M}$ e $\vec{B}$ são paralelos, de fato eles sempre são paralelos. Observando a equação \ref{eq_imToro} percebemos que ela é o produto de um campo vezes o comprimento do toro: \begin{eqnarray*} i_{m} & = & M\left(2\pi r\right)\\ & = & M\oint_{c}ds \end{eqnarray*} dando um caráter vetorial obtemos e colocando $M$ dentro da integral (o $M$ independe do caminho de integração nesse exemplo) \[ i_{m}=\oint_{c}\vec{M}\cdot d\vec{s} \nonumber \] Agora, aplicando a lei de Ampère a todo o toro \[ \oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_{o}i_{t} \nonumber \] onde $i_{t}$ é a corrente total dentro do contorno ampereana de integração, evidentemente \[ i_{t}=i+i_{m} \nonumber \] assim \begin{eqnarray*} \oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{s} & = & \mu_{o}i_{t}\\ \oint_{C}\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}\cdot d\vec{s} & = & Ni+i_{m}\\ \oint_{C}\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}\cdot d\vec{s} & = & Ni+\oint_{c}\vec{M}\cdot d\vec{s} \end{eqnarray*} onde \[ \oint_{C}\left(\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{M}\right)\cdot d\vec{s}=Ni \nonumber \] se definimos a campo magnetizante (ou intensidade magnética) como \[ \vec{H}\equiv\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{M} \nonumber \] podemos escrever \begin{equation} \oint_{C}\vec{H}\cdot d\vec{s}=i_{c}\label{eq_leiAmpere} \end{equation} onde $i_{c}$ é a corrente com origem nas cargas moveis encerrada no contorno ampereana de integração. Similarmente à $\vec{M}$, a unidade de $\vec{H}$ é $A/m$. Ainda que esse resultado tenha sido obtido para o caso do toroide, ele é completamente geral. Assim vemos que o campo $\vec{H}$ tem uma origem física totalmente diferente de o campo $\vec{B}$. O campo $\vec{H}$ é produto das correntes resultantes do movimento das cargas ({}``correntes verdadeiras'') em um meio condutor, enquanto o campo $\vec{B}$ \[ \vec{B}=\mu_{0}\left(\vec{H}+\vec{M}\right) \] resulta da contribuição das correntes verdadeiras e as correntes atômicas. Uma forma de entender está diferença é dizendo que o campo $\vec{H}$ é um campo de origem externa aplicada ao material, enquanto que $\vec{B}$ é o campo medido no material, entanto que $\vec{M}$ é o campo próprio do material. É importante ter claro que a lei de Ampère \ref{eq_leiAmpere} só garante que a integral $\vec{H}\cdot d\vec{s}$ em torno de uma trajetória fechada será somente determinada pelas corrente verdadeiras que estão dentro da corrente contudo, é possível que $\vec{M}$ afete o vetor $\vec{H}$ mas não a integral $\vec{H}\cdot d\vec{s}$. Por exemplo, num ímã permanente não há nenhuma ampereana que englobe uma corrente real e mesmo assim há campo $\vec{H}$. É razoável supor que deve existir alguma relação entre $\vec{H}$ e $\vec{M}$. Sabemos que o número de momentos magnéticos atômicos dependem da intensidade do campo $\vec{H}$ aplicado. A forma mais simple que podemos supor para essa relação é um comportamento linear \begin{equation} \vec{M}=\chi_{m}\vec{H}\label{eq_MagLinear} \end{equation}

Alumínio $2,3\times10^{-5}$
Bismuto $-1,7\times10^{-4}$
Cobre $-1,0\times10^{-5}$
Ouro $-3,6\times10^{-5}$
Chumbo $-1,7\times10^{-5}$
Magnésio $1,2\times10^{-5}$
Platina $2,9\times10^{-4}$
Prata $-2,6\times10^{-5}$
Agua $-0,88\times10^{-5}$
$CrK(SO_{4})_{2}\cdot12H_{2}O$ $2,32\times10^{-5}$
$Cu(SO_{4})\cdot5H_{2}O$ $1,43\times10^{-4}$
$Gd_{2}(SO_{4})_{3}\cdot58HO$ $2,21\times10^{-4}$
$MnF_{2}$ $4,59\times10^{-4}$
$CoCl_{2}$ $2,21\times10^{-4}$
$CoCl_{2}$ $3,38\times10^{-4}$
$FeCl_{2}$ $3,10\times10^{-4}$
$FeCl_{3}$ $2,40\times10^{-4}$
$NiCl_{2}$ $1,71\times10^{-4}$
Ferro (doce) $\thickapprox5000$

De fato, experimentalmente se observa que para uma ampla faixa de condições e para diversos materiais essa relação é válida. A constante $\chi_{m}$ é uma grandeza que carateriza o material e recebe o nome de susceptividade magnética do material. Para alguns materiais a relação linear que define a susceptibilidade magnética deixa de ser válida se o campo $\vec{H}$ é muito intenso. Mas existem materiais como o o Ferro, Níquel, Cobalto onde não é valida a relação \ref{eq_MagLinear}, nem mesmo para valores pouco intenso de campo, mas desses materiais cuidaremos mas à frente. Agora suporemos que temos materiais magneticamente lineares, nessa situação \begin{eqnarray*} \vec{B} & = & \mu_{0}\left(\vec{H}+\vec{M}\right)\\ & = & \mu_{0}\left(1+\chi_{m}\right)\vec{H}\\ & = & \mu\vec{H} \nonumber \end{eqnarray*} onde a constante \[ \mu=\left(1+\chi_{m}\right)\mu_{0} \nonumber \] se conhece como permeabilidade magnética (absoluta) do material. As vezes resulta útil também falar da permeabilidade relativa do material \[ K_{m}=\frac{\mu}{\mu_{0}}1+\chi_{m} \nonumber \] Esses resultados explicam o porque quando temos um solenoide de ar $(\mu=\mu_{0})$ o campo é menor do que quando colocamos dentro do solenoide um núcleo magnetizável onde $\mu=\left(1+\chi_{m}\right)\mu_{0}$. Contudo, em geral a susceptividade magnética é pequena na maioria dos materiais, uma excepção é o ferro que ainda que não se comporte de forma linear, a susceptividade efetiva é muito maior do que qualquer material (ver tabela \ref{tab1}). A razão deste comportamento tão díspar observado para o ferro e outros materiais ferromagnéticos é que os dipolos magnéticos atômicos tendem a se alinhar uns com outros quando sujeitos a um campo externo. Há outras substancias com susceptividade magnética positiva pequena e independente da intensidade magnética aplicada (para campos pequenos). Em tais materiais os dipolos se alinham ao campo externo aplicado porém não se influenciam mutuamente de forma significativa como no caso dos ferroelétricos. Essa substancias recebem o nome de materiais paramagnéticas Da tabela 1 observamos que há substancia com susceptividade negativa. Nesse materiais, de foma similar ao que acontece nos materiais paramagnéticos, os momentos são independente entre si, a tendencia dos momentos magnéticos é de se alinhar na direção oposta. Esse materiais recebem o nome de materiais diamagnéticos.

Exemplos:

  1. Em um átomo de hidrogênio se pode considera que um elétron gira na volta de um próton num orbita circular de raio $r=0,528\times10^{-10}m$ com velocidade angular constante $\omega$. A atração eletrostática entre o elétron e o próton é proporcional à força centrípeta necessária para reter o elétron na sua orbita circular. Utilizando conceitos clássicos de que o momento magnético é o produto da corrente pela área dentro da circunferência percorrida pelo elétron, determine o momento magnético orbital do átomo de hidrogênio. Qual é a relação entre o momento magnético à quantidade de movimento angular do elétron?

  2. Uma bobina toroidal fina, tem raio médio de $10\, cm$ e uma área transversal de $3,0\, cm^{2}$, com $3142$ voltas de fio condutor ($50$ voltas/cm ao longo da circunferência média). Suponha que a bobina está enrolada sobre a superfície de um núcleo paramagnético toroidal de susceptibilidade $\chi_{m}=4,59\times10^{-4}$. Se faz fluir uma corrente constante de $3,5\, A$ nas espiras. Encontre (a) a intensidade magnética $H$ dentro da bobina, (b) a magnetização $M,$(c) a indução magnética $B$ dentro da bobina e (d) a corrente superficial total de magnetização $i_{m}$. Qual seria a indução $B$ si não tivesse o núcleo paramagnético?. Suponha agora um núcleo ferromagnético com permeabilidade relativa de $1200$ com comportamento linear.