Física IV - FSC-5114

só um divisor

Indução Magnética

Auto Indução

Segundo Faraday, toda variação no fluxo experimentada por um circuito magnético produz uma FEM induzida, incluso uma variação no fluxo magnético produzido pela corrente que flui no próprio circuito. Para entender isto vejamos o seguinte exemplo: Consideremos um solenoide comprido ideal de $n$ voltas por unidade de comprimento, sabemos que o campo no seu interior tem o módulo de \[ B=\mu_{0}in \] como todo o mesmo campo magnético passa por cada uma das espiras do solenoide, podemos expressar o fluxo através de cada espira \[ \Phi_{m}=BA \] se a corrente que gera o campo no solenoide varia no tempo, a rapidez de variação do fluxo que atravessa uma dada espira será \[ \frac{d\Phi_{m}}{dt}=\mu_{0}nA\frac{di}{dt} \] utilizando a lei de Faraday podemos calcular a FEM autoinduzida nessa espira \begin{aligned} \mathscr{E} & = -\mu_{0}NnA\frac{di}{dt} \\ & = -\mu_{0}n^{2}A\mathtt{l}\frac{di}{dt} \end{aligned} onde $N$ é o número de espiras e $\mathtt{l}$ é o comprimento do solenoide (o diâmetro do solenoide tem que ser muito maior que o raio para que a equação seja razonavelmente válida).

Suponhamos que o circuito tem uma forma diferente à de um solenoide, será que poderíamos calcular a FEM autoinduzida? Bom, podemos pelo menos pensar na forma dessa equação. Segundo a lei de Biot e Savart o campo é proporcional à corrente que passa por ele, assim devemos esperar que o rapidez de variação do fluxo seja diretamente proporcional à rapidez de variação da corrente, assim podemos propor uma expressão da forma \[ \mathscr{E}=-N\frac{d\Phi_{m}}{dt}=-L\frac{di}{dt}\label{eq_autoIndu} \] onde $L$ é uma constante de proporcionalidade chamada de autoindutância do circuito. O termo autoindutância muitas vezes é abreviado para simplesmente indutância. Assim, para o casso de um solenoide comprido, a indutância é \[ L=\mu_{0}n^{2}A\mathtt{l}\label{eq_IndSol} \] Observe o sinal na equação \ref{eq_autoIndu}, esse sinal está relacionado com a Lei de Lenz e diz que o sentido da FEM induzida no elemento indutivo, $\Delta V=\mathscr{E}=-L\, di/dt$, depende de se $di/dt$ é positiva (aumentando $i$) ou negativa ($i$ diminuindo).

Um grande problema
Figura 01: O sinal da FEM induzida depende de taxa de variação temporal da corrente ser positiva ou negativa.
A unidade da autoindutância no SI é o henry $[H]$, isto é \[ 1H=1\frac{T\, m^{2}}{A}=1\frac{Wb}{A}, \] assim, similarmente ao que aconteceu com a permissividade elétrica quando foi redefinida utilizando a unidade de capacitância ($\varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}F/m$), as unidade da permeabilidade são redefinidas utilizando essa nova unidade \[ \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m \] É importante dizer que não importa ao circuito elétrico, todo circuito tem uma indutância associada mas, para fines práticos, representaremos toda a indutância do circuito num único elemento denominado de indutor ou bobina e o simbolo utilizado nos circuitos é o de um solenoide

Circuito RL

Como vocês sabem, todo circuito elétrico tem associado a sim um resistência. Igualmente, todo circuito elétrico tem associado uma indutância. Para fines práticos, representaremos toda a indutância do circuito num único elemento denominado de indutor ou bobina e o simbolo utilizado nos circuitos é o de um solenoide

Um grande problema
Figura 02: Sempre é possível encontrar um resistor que seja equivalente à todas as resistências do circuito e um indutor que substitua todos os elementos indutivos.\label{fig1}

Uma pergunta que surge de imediato é como se comporta a corrente e diferenças de potencial no circuito quando temos um elemento indutivo presente. Para saber a resposta aplicamos a lei de Kirchhoff: \[ \mathscr{E}-iR-L\frac{di}{dt}=0\label{eq3} \] derivando novamente em relação a $t$ \[ L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}=0\nonumber \] agora fazemos \[ w=\frac{di}{dt}\label{eq4} \] integrando desde $t'=0$ até $t'=t$. Consideremos que nosso circuito ao tempo $t'=0$ foi ligado à fonte de fem, isso implica que a corrente inicial é zero. De \ref{eq3}, \[ w=\left(\frac{di}{dt}\right)_{t=0}=\frac{\mathscr{E}}{L}\nonumber \] ou seja \begin{aligned} \int_{\mathscr{E}/L}^{w}\frac{dw}{dt} & = -\frac{R}{L}\int_{0}^{t}w\nonumber\\ \left.\ln w\right|_{\mathscr{E}/L}^{w} & = -\frac{R}{L}t\\ \ln w-\ln\frac{\mathscr{E}}{L} & = -\frac{R}{L}t\\ \ln\left(\frac{wL}{\mathscr{E}}\right) & = -\frac{R}{L}t\\ w & = \frac{\mathscr{E}}{L}e^{-\frac{R}{L}t} \end{aligned} de \ref{eq4} \begin{aligned} \frac{di}{dt} & = \frac{\mathscr{E}}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\\ \int_{0}^{i}di & = \frac{\mathscr{E}}{L}\int_{o}^{t}e^{-\frac{R}{L}t}dt\nonumber \end{aligned} \[ i(t)=-\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\label{eq_correnteInd} \] A diferença de potencial através do elemento indutivo é \begin{aligned} \Delta V & = \mathscr{E}_{L}\\ & = -L\frac{di}{dt}\\ & = -L\left(\frac{\mathscr{E}}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\right)\nonumber \end{aligned} \[ \Delta V=-\mathscr{E}e^{-\frac{R}{L}t}\label{eq_DifPotInd} \] O sinal negativo reflete o fato de que a corrente experimenta uma queda no potencial quando passa pelo indutor. A partir destes resultado observamos que o efeito da indutância no circuito é retrasar o incremento da corrente no circuito por um tempo até que se estabeleça o campo magnético do indutor. Observe que quando na equação \ref{eq_correnteInd} $t=L/R$ segundos, a corrente no circuito será $1-1/e$ do seu valor final. Em outras palavras, difere desse valor final na fração $1/e$. A quantidade $L/R$, que tem dimensões de tempo e expressa essa propriedade dos circuitos indutivos-resistivos, se conhece como constante de tempo indutiva do circuito: \[ \tau_{L}=\frac{L}{R} \]

Um grande problema
Figura 03: Gráfico da fem nos indutores como função do tempo.

Agora consideremos a situação inversa. Depois de muito tempo, a corrente no circuito atinge se valor assintótico, $\mathscr{E}/R$, e repentinamente abrimos o disjuntor (colocando no ponto b). Aplicamos novamente a lei de kirchhoff \begin{aligned} -iR-L\frac{di}{dt} & = 0\label{eq_descarga}\\ \frac{di}{i} & = -\frac{R}{L}dt\\ \int_{\frac{\mathscr{E}}{R}}^{i}\frac{di}{i} & = -\frac{R}{L}\int_{0}^{t}dt\\ \left.\ln i\right|_{\frac{\mathscr{E}}{R}}^{i} & = -\frac{R}{L}t\\ \ln\left(\frac{\mathscr{iE}}{R}\right) & = -\frac{R}{L}t \nonumber \end{aligned} \[ i(t)=\frac{\mathscr{E}}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\label{eqdesLR} \] A diferença de potencial, por sua vez é \begin{aligned} \Delta V & = \mathscr{E}_{L}\\ & = -L\frac{di}{dt}\\ & = -L\left(-\frac{\mathscr{E}}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\right) \nonumber \end{aligned} \[ \Delta V=-\mathscr{E}e^{-\frac{R}{L}t} \] O sinal positivo confirma o razonamento anterior que levou a esperar um aumento do potencial através da indutância em nessa condições, parecido ao associado a uma bateria. Observe que para o caso de um circuito R-C se obteve expressões semelhantes, contudo fisicamente temos uma pequena diferença, no caso do circuito R-C a energia é armazenada no campo elétrico. No caso dos circuitos R-L a energia é armazenada no campo magnético criado no indutores.

Exemplos:

Exemplo 1

Calcular a autoindutância $L$ de uma bobina toroidal, de raio interno $a$, raio externo $b$, raio médio $d$, e que tem $n$ voltas por unidade de comprimento ao longo da circunferência.

Exemplo 2

Depois de passar por muito tempo ($t\rightarrow \infty$) o disjuntor ligado no ponto 1, se observa que a corrente do circuito é $3,5A$ e a diferencia de potencial na resistência $R_i$ é $2,8V$. Quando se move o disjuntor par a posição 2 se observa que a diferença de potencial na resistência $R_e$ é $0,90\%$ do total passados $t=4,2\times 10^{-3} s$. Calcule o valor de $L_1$

exemplo 4
Figura 04: Exemplo 2.

Exemplo 3

Um eletroímã grande de pesquisa tem polos com faces circulares paralelas de $30\, cm$ de diâmetro, que estão separadas uma distância de $5\, cm$. O ímã pode produzir um campo máximo de $1,2T$, essencialmente constante no interior da região cilíndrica entre os polos. Determine a quantidade de energia que se armazena no campo magnético dessa região, nessas condições. Quanto tempo poderá permanecer acendida um lampada incandescente de $60W$ desenvolvendo essa potência e alimentada com a energia do campo.