Física IV - FSC-5114

só um divisor

Revisão de Física III

Antes de darmos inicio a este curso, temos que relembrar alguns resultados obtidos nos cursos previamente estudados. Durante o curso de Física III foram estudados conceitos relativos aos fundamentos do que é conhecido como electromagnetismo.

O primeiro que foi estudado no curso de Física III foi a lei de Coulomb, \[ \vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\hat{r}\label{eq_Coulomb} \] para definir essa lei foi necessário introduzir uma nova propriedade da matéria, a carga elétrica. Dizemos que a carga é uma ''coisa'' que os corpos podem adquirir. Essa ``coisa'' que chamamos de carga existe em duas formas diferentes, positiva (similar à obtida pelo vidro quando é atritado com a seda) e negativa (similar à adquirida pela borracha quando é atritado com pele, tipo de coelho). Essas cargas tinhas a propriedade de se atrair (força) ou repelir, dependendo de se são ou não do mesmo tipo.

Posteriormente introduzimos o conceito de campo elétrico. Aqui temos um conceito fundamentalmente importante para o desenvolvimento deste curso de Física IV, campo. Estritamente falando um campo é uma função o conjunto de funções que representa, por exemplo, cada uma das componentes de um vetor, definido em todos os pontos do espaço num espaço dado em coordenadas, e que associa uma determinada grandeza a cada ponto desse espaço. No caso específico do campo elétrico, o campo associa a cada ponto do espaço o valor da força por unidade de carga, isto é \[ \vec{E}=\lim_{q\rightarrow0}\frac{\vec{F_{e}}}{q}\label{eq_defCampoE} \]

Fisicamente este resultado é muito importante pois diz que, não importa na região do universo, se eu tiver uma carga elétrica e ela sentir uma força é porque nesse ponto existe um campo que está atuando sobre ela.

A continuação levamos o conceito de campo elétrico a frente, introduzindo a lei de Gauss \[ \begin{aligned} \Phi & = \oint\vec{E}\cdot d\vec{a}\nonumber ,\\ \varepsilon_{0}\Phi & = q_{int}\nonumber, \\ \oint\vec{E}\cdot d\vec{a} & = \frac{q_{int}}{\varepsilon_{0}}, \end{aligned} \] onde $\Phi$ é o fluxo do campo elétrico e $d\vec{a}$ é o elemento do vetor área. O fluxo, na visão de Michael Faraday, é uma medida da quantidade de ``linhas de campo'' que atravessam uma área. Uma das importâncias fundamentais da lei de Gauss é a necessidade de se levar em conta conceitos de simetria na hora de serem resolvidos questões relativas ao campo elétrico. Por outro lado, essa lei deixa explicita a origem do campo, as cargas.

Até esse momento a utilização do campo elétrico era absoluta, uma ferramenta extremadamente útil contudo, ``tem o problema'' de ser uma grandeza vetorial. Afortunadamente foi introduzido o conceito de potencial elétrico. O potencial elétrico é uma grandeza que está associada com a energia potencial de um sistema, de fato \[ V=\lim_{q\rightarrow0}\frac{U}{q},\label{eqPotEle}, \] onde $U$ é a energia potencia, assim $V$ é a energia potencial por unidade de carga nu ponto arbitrário. A vantagem desta grandeza é que ela é escalar e é facilmente relacionada com o campo elétrico \[ V=-\int\vec{E}\cdot d\vec{s},\label{eq_VfromE}, \] ou \[ \vec{E}=\vec{\triangledown}V\label{eq_EfromV}, \] onde $\vec{\nabla}$ é o gradiente.

O conceito de potencial elétrico nos leva a definir a capacitância $C$, como uma medida da quantidade de energia (carga) que pode ser armazenada nos capacitores. A capacitância se define com \[ C=\frac{q}{V}, \]

Foi nesse ponto onde por primeira vez vimos o efeito do campo elétrico na presença da matéria, dielétricos permitiam aumentar a capacitância dos elementos capacitivos devido à sua constante dielétrica ser diferente da do vácuo. Alguns resultados que vale lembrar são a capacitância de um par de placas paralelas \[ C=\frac{\varepsilon A}{d}, \] onde $A$ é a área das placas e $d$ é a separação das placas.

A a energia armazenada num capacitor \[ U=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}\label{eq_EnergiaCampoE} \] onde se deixa explicito que a energia é armazenada no campo elétrico que se forma entre as placas do capacitor.

Até este ponto estivemos analisando situações onde as cargas se mantinham imóveis, quando se considera o movimento das cargas foi necessário introduzir o conceito de corrente elétrica \[ i=\frac{dq}{dt},\label{eq_corrente} \] como a quantidade de carga que flui através de uma área de observação por unidade de tempo. Junto à corrente foram estudados os resultados obtidos por Simon Ohm, que perceve que a matéria impõe restrições ao movimento das cargas \[ \vec{J}=\left(\frac{e^{2}n\tau}{m}\right)\vec{E},\label{eq_ohm1} \] onde $J=di/dA$ é a densidade de corrente elétrica, $e$ é a carga do elétron, $n$ é a densidade de elétrons por unidade de volume, $m$ é a massa do elétron e $\vec{E}$ e o campo que impulsiona os elétrons. A expressão anterior é conhecida como lei de Ohm e o termo entre parenteses é a condutividade, inverso da resistividade, do material. A forma mais usual da lei é \[ V=i\, R\label{eq_ohm2} \] Onde $R$ é a resistência associada ao material. Estudos posteriores realizados Joule mostraram que a energia obtida do campo elétrico é transformada em calor quando passa pela resistência a uma taxa por unidade de tempo dada por \[ P=i^{2}R\label{eq_joule} \] onde $P$ é a potência.

O advento da corrente elétrica possibilita o grande descobrimento por parte de Oersted, eletricidade pode gerar magnetismo. Mas antes de entrarmos nisso, vejamos um pouco o que se sabia sobre o magnetismo pre Oersted. Inicialmente só se podia pesquisar ímãs permanente. Observando estes imas se chegou à conclusão de que existiam duas cargas magnética, que chamamos de polos, norte e sul e também se observou que essa cargas nunca estão isoladas, sempre aos pares, assim dizemos que não existem mono-polos magnéticos. Essa observação já nos permite escrever uma equação equivalente à da lei de Gauss \[ \oint\vec{B}\cdot d\vec{a}=0\label{eq_gausB} \] onde observamos que a lei diz que as linhas de campo formam circuitos fechados. Este foi o principal empecilho para no avançar no estudo do magnetismo. Afortunadamente foi descoberta a relação entre eletricidade e magnetismo e se dá inicio ao estudo formal desta área.

A expressão equivalente da lei de coulomb, para o caso magnético é \[ d\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B}\label{eq_FentreIs} \] observe que está equação não explica a observação de Oersted. Para entender a observação de Oersted foram realizadas uma serie de pesquisas, como resultado dessas pequisas foi obtido, simultaneamente, por Biot e Savart uma expressão para o calculo do campo magnético \[ \vec{B}=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\int_{c}\frac{d\vec{r}\times\vec{r}}{r^{3}}\label{eq_BiotSavart} \] como podemos ver essa lei é complicada mas traz um resultado interessantíssimo, a origem do magnetismos não são os as cargas magnéticas e sim o movimento de cargas elétricas, a corrente elétrica. Por isso Oersted observa a bussola se desviar na presença da corrente elétrica.

A forma da força magnética pode levar se colocada de forma a levar em consideração elementos mais fundamentais, como a carga, assim \[ \vec{F}=q\vec{E+}q\left(\vec{v}\times\vec{B}\right)\label{eq_ForcaLorentz} \] nessa expressão é considerada que a carga está em movimento, numa região onde há um campo elétrico e um campo magnético a essa força foi dado o nome de força de Lorentz.

Devido à inexistência de cargas magnéticas isoladas vimos que a lei de Gauss para o magnetismo não permite uma aplicação prática no calculo do campo elétrico, afortunadamente Ampère descobriu que é possível ter uma outra expressão de igual versatilidade que a lei de Gauss. A lei de Ampère é uma alternativa à lei de Biot e Savart quando tratamos com problemas altamente simétricos de distribuição de corrente. Segundo essa lei \[ \oint\vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_{0}i_{int}\label{eq_ampere} \] assim se temos um caminho de integração onde possamos considerar $\left|\vec{B}\right|$ constante, o nosso problema se simplifica. Um resultado importante a ser lembrado é o campo produzido por um solenoide infinito no seu centro: \[ B=\mu_{0}in\label{eq_campoSole} \] onde $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento e $i$ é a corrente que passa pelo solenoide. Igualmente importante é o campo no interior de um Toroide \[ B=\frac{\mu_{0}iN}{2\pi}\frac{1}{r}\label{eq_toroide} \] onde $N$ é o número total de espiras e $r$ é o raio do solenoide até seu centro.

Lei de Faraday

Tanto a equação de Biot e Savart, como a de Ampère-Maxwell (que se deduz da primeira) indicam que é possível criar um campo magnético a partir de uma corrente elétrica, vendo isto o Michael Faraday se perguntou, será que é possível fazer o inverso? Criar corrente elétrica a partir do campo magnético. Depois de muita pesquisa o Faraday chegou a resposta e explicação da forma de como se fazer isto: sempre que um fluxo magnético variável no tempo atravessa um circuito, se induz uma FEM em este cuja magnitude é diretamente proporcional à intensidade de variação do fluxo em relação ao tempo. Devemos a Maxwell a expressão matemática que traduz a afirmação anterior \[ \mathscr{E}_{m}=-\frac{d\Phi_{m}}{dt}=-\frac{d}{dt}\int\vec{B}\cdot d\vec{a}\label{eq_Faray} \] Onde $\mathscr{E}_{m}$ é a FEM (força eletromotriz -- trabalho por unidade de carga com origem não eletrostático) induzida pela variação do fluxo do campo magnético. O sinal dessa equação é atribuída ao Lenz quem afirmou que: as correntes induzidas fluem de maneira que seus próprios efeitos magnéticos se oponham à variação do fluxo que originalmente as crio