Física Computacional - FSC-5705

só um divisor

integração numérica

Integração
Integração numérica (a) Integral exata (b) Integral aproximada

Métodos para integração numérica existem vários, aqui somente serão abordados dois desses métodos. Em geral o intuito dos diversos métodos em encontrar um forma de calcular a área embaixo da curva com o menor erro possível.

Contudo, antes de inicial é bom saber um método que, ainda que não muito utilizado, é um método que pode ser utilizado em algumas circunstancias. A ideia do método é aproximar o conjunto de dados por algum dos métodos previamente estudados e assim obter um polinômios (ajuste dos dados) que posteriormente pode ser integrado analiticamente facilmente. Como mostra a figura acima, o método pode subestimar ou superestimar a área de interesse, mas dependendo da necessidade esse erro pode ser tolerável.

Regra dos Trapézios

Regra do trapézio

Este método é introduzido nos cursos de calculo tradicional, a ideia por traz do método consiste em aproximar a integral a través de pequenos trapézios, que aos serem somados (integrados) nos permitem obter aproximadamente a área embaixo da curva, isto é

\[ \int_a^b f(x)dx = \frac{h}{2}\left[ f(a) + f(b) \right] + O(h^2) \]

perceba que a data tem que estar igualmente espaçada ($h$) para poder utilizar este método. A fim de minimizar o erro, se escolhe um valor de $h$ pequeno, de forma que a integral real será igual à soma das pequenas contribuições $\Delta I$, como mostrado na próxima figura

intervalos de integração

Essa figura também nos permite introduzir uma nova notação, muito frequentemente utilizada para descrever algoritmos de física computacional, a equação anterior pode ser reescrita como

\[ \Delta I = \frac{1}{2}h_i(f_i + f_{i+1}) \]

de forma que a integral entre $a$ e $b$ vai ser igual a soma de cada uma das $\Delta I$ contribuição

\[ I = \sum_{i=0}^{n-1}\Delta I = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2}h_i(f_i + f_{i+1}) \]

ou

\[ I = \left( b - a \right) \dfrac{f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n)}{2n} \]

Regra Simpson 1/3

Integração pelo método de Simpson 1/3

No caso da regra de Simpson 1/3, são utilizados 3 pontos para calcular a integral, utilizando a nova notação o elemento de integração esta dado por

\[ \Delta I = \frac {h}{6}\left( f_0 + 4f_1 + f_2 \right) \]

somando todos os elementos chegamos em

\[ I = \left( b - a \right) \dfrac{f(x_0)+4\sum_{i=1,3,5}^{n-1}f(x_i) + 2\sum_{j=2,4,6}^{n-2}f(x_j) + f(x_n)}{3n} \]

note que o número de pontos $n$ deve ser par. O erro no método dos trés pontos é $O(h^5)$.

Método de Monte Carlo

Integração pelo método de Monte Carlo
Fonte: wikipedia

a função que vamos integrar, sabemos que a integral é simplesmente a área embaixo da curva. Uma forma de calcular esta área é simplesmente fazendo

\[ \int_a^b f(x)dx = (b-a) < f > \]

onde $< f >$ é o valor meio da função no intervalo. Pronto ... Na verdade agora temos que encontrar um novo método para avaliar esse valor meio. Uma forma de se fazer isso é escolher um conjuntos de números $x_i$ aleatórios uniformemente distribuídos entre $a$ e $b$. E calcular o valor da função em cada um desse números aleatórios, $f(x_i)$, ou seja

\[ < f > = \frac 1N \sum^N_i f(x_i) \]

dessa forma a integral se escreve

\[ \int_a^b f(x)dx = \frac {b-a}{N} \sum^N_i f(x_i) \]

Na verdade este método até é muito lento para resolver integrais de uma variável, mas quando as integrais são de mais de uma variável, como por exemplo num tipo de integral que frequentemente aparece em física:

\[ \bar{u} = \frac{\int u \exp\left[ -E/kT \right] dx^{3N} dv^{3N}}{\int \exp\left[ -E/kT \right] dx^{3N} dv^{3N}} \]

o método converge muito mais rapidamente e até mesmo resolve integrais que os outros métodos são incapazes de resolver.

Método da tentativa e acerto

A ideia por trás desta "variação" do método de Monte Carlo é encontrar uma região no espaço (área) que englobe o volume (área) que desejamos calcular. A continuação são gerados, aleatoriamente, $N_{tentativa}$ pontos dentro dessa região e é contado a quantidade de acertos dentro do volume (área) que quer ser calculada, $N_{acerto}$. Pode se mostrar que a porcentagem de acerto é proporcional à razão entre o volume (área) que engloba a região de interesse e o volume (área) da região de interesse. Para o caso de uma integral em 2 dimensões, temos que

\[ A_{desejada} = A_{conhecida} \frac{N_{acerto}}{N_{tentativa}} \]

onde $A_{desejada}$ é a integral desejada e $A_{conhecida}$ é a área da região que engloba a região desejada.

Tarefa