Física Computacional - FSC-5705

só um divisor

Ajuste por mínimos quadrados

Ajuste Linear

Suponhamos um experimento em que desejamos verificar a ralação existente entre a corrente elétrica e a diferencia de potencial numa resistência elétrica. Para isso montamos um circuito simples no qual submetemos uma resistência a uma diferença de potencial. Suponhamos que podemos controlar essa diferencia de potencial e que estamos munidos com voltímetros e amperímetros. Assim após realizarmo uma serie de medidas (onde a diferença de potencial era controlada) obtivemos que

$I(mA)$ 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6
$\Delta V (V)$ 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Agora a pergunta é, será que podemos saber qual é a relação entre os dados colhidos? Afortunadamente sabemos que existe um modelo que descreve essa relação. No inicio do século 20, Paul Drude mostrou que para alguns materiais, conhecidos como materiais ohmicos, o campo elétrico no seu interior é diretamente proporcional à densidade de corrente que se estabelece, isto é

$\displaystyle{ \vec{E} = \rho \vec{J} }$

a partir deste modelo sabemos que devemos esperar uma relação linear entre a corrente elétrica e a diferença de potencial

$\displaystyle{ V = RI }$

Mas olhando para os dados devemos nos perguntar, como calcular a melhor reta que passe pelos pontos obtido?
Um forma de se abordar este problema é a través da técnica dos mínimos quadrados. A ideia por trás deste método é muito simples, suponha que temos um conjunto de dados $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $\ldots$, $(x_n, y_n)$ os quais queremos ajustar a uma reta

$\displaystyle{ f(x;a_0,a_1) = a_0x+ a_1 }$

isto é, supomos que é possível escrever os dados como

$\displaystyle{ y_i = a_0x_i+ a_1 }$

o método de mínimos quadrados consiste em definir uma função

$\displaystyle{ \chi ^2 = \sum_{i=1}^{n}\left[y_i - f(x_i;a_0,a_1)\right]^2 }$

tal que ao ser minimizada nos da a melhor reta que passa a través dos pontos. Assim, para encontrar tal mínimo o cálculo diz que devemos procurar

$\displaystyle{ \frac{\partial \chi^2}{\partial a_i}=0 }$


Interpretação geométrica do método dos mínimos quadrados


de onde obtemos o seguinte sistema de equações

$\displaystyle{ \begin{array}{rclcl} \frac{\partial \chi^2}{\partial a_1}&=& 2\sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - a_0x_i+a_1)x_i\right] & = &0\\ \frac{\partial \chi^2}{\partial a_0}&=& 2\sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - a_0x_i+a_1)\right] & = &0\\ \end{array} }$

agrupando

$\displaystyle{ \begin{array}{rcl} \sum_{i=1}^{n} y_i x_i & =& a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i\\ \sum_{i=1}^{n} y_i & = & a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i + a_1\sum_{i=1}^{n}1\\ \end{array} }$

que ao ser resolvido nos dá os valores dos $a_i$ que melhor se ajustam ao conjunto de dados fornecidos:

$\displaystyle{ a_0 = \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} y \right) \left( \sum_{i=1}^{n} x^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n} x \right) \left( \sum_{i=1}^{n} xy \right)}{n \sum_{i=1}^{n} x^2 - \left( \sum_{i=1}^{n} x \right)^2} }$

$\displaystyle{ a_1 = \frac{n \sum_{i=1}^{n} xy - \left( \sum_{i=1}^{n} x \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y \right)}{n \sum_{i=1}^{n} x^2 - \left( \sum_{i=1}^{n} x \right)^2} }$

Ajuste Polinomial

No caso de estarmos procurando por um polinômio de ordem $m$ superior:

$\displaystyle{ f(x;a_0,a_1,a_2,\ldots,a_m) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n = \sum_{i=1}^{m} a_i x^i }$

sendo que possuímos de $n$ conjuntos de dados ($m+1 \le n$) o procedimento é essencialmente o mesmo, se define a função a ser minimizada

$\displaystyle{ \chi ^2 = \sum_{i=1}^{n}\left[y_i - f(x_i;a_0,a_1,a_2,\ldots,a_m)\right]^2 }$

se deriva a função, a fim de procurar seus extremos

$\displaystyle{ \begin{array}{ccccl} \frac{\partial \chi^2}{\partial a_0}&=& 2\sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - a_0 x_i^0 + a_1 x_i^1 + a_2 x_i^2 + \ldots + a_n x_i^n)x_i^0\right] & = &0\\ \frac{\partial \chi^2}{\partial a_1}&=& 2\sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - a_0 x_i^0 + a_1 x_i^1 + a_2 x_i^2 + \ldots + a_n x_i^n)x_i^1\right] & = &0\\ \frac{\partial \chi^2}{\partial a_2}&=& 2\sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - a_0 x_i^0 + a_1 x_i^1 + a_2 x_i^2 + \ldots + a_n x_i^n)x_i^2\right] & = &0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial \chi^2}{\partial a_m}&=& 2\sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - a_0 x_i^0 + a_1 x_i^1 + a_2 x_i^2 + \ldots + a_n x_i^n)x_i^n\right] & = &0\\ \end{array} }$

expandindo, obtemos

$\displaystyle{ \begin{array}{lclclclclcl} \sum_{i=1}^{n} y_i & = & a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i^0 & + & a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i & + & a_2 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & + & \ldots & + & a_n \sum_{i=1}^{n} x_i^m \\ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i & = & a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i & + & a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & + & a_2 \sum_{i=1}^{n} x_i^3 & + & \ldots & + & a_m \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+1} \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i & = & a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & + & a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^3 & + & a_2 \sum_{i=1}^{n} x_i^4 & + & \ldots & + & a_m \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+2} \\ \vdots & = & \vdots & + & \vdots & + & \vdots & + & \ddots & + & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^m y_i & = & a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i^m & + & a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+1} & + & a_2 \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+2} & + & \ldots & + & a_m \sum_{i=1}^{n} x_i^{2m} \\ \end{array} }$

Disto vemos que podemos definir uma matriz

$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^0 \\ \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^1 \\ \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^2 \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^m \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{lllll} \sum_{i=1}^{n} x_i^0 & \sum_{i=1}^{n} x_i & \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^m \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^1 & \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \sum_{i=1}^{n} x_i^3 & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+1} \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \sum_{i=1}^{n} x_i^3 & \sum_{i=1}^{n} x_i^4 & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^m & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+1} & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+2} & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^{2m} \\ \end{array} \right] \; \left[ \begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_m\\ \end{array} \right] }$

ou, de forma reduzida

$\displaystyle{ B=MA }$

que tem a solução

$\displaystyle{ A=M^{-1}B }$

ou

$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_m\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{lllll} \sum_{i=1}^{n} x_i^0 & \sum_{i=1}^{n} x_i & \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^m \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^1 & \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \sum_{i=1}^{n} x_i^3 & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+1} \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \sum_{i=1}^{n} x_i^3 & \sum_{i=1}^{n} x_i^4 & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} x_i^m & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+1} & \sum_{i=1}^{n} x_i^{m+2} & \ldots & \sum_{i=1}^{n} x_i^{2m} \\ \end{array} \right]^{-1} \;\; \left[ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^0 \\ \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^1 \\ \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^2 \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} y_i x_i^m \\ \end{array} \right] }$

Tarefa

  1. Implemente o programa que utiliza as funções da eliminação gaussiana. O programa deve:
    1. Leer uma tabela de dados.
    2. Criar a matriz $M$
    3. Criar o vetor $B$
    4. devolver como resultado os coeficientes $A$
  2. Utilize o programa anterior para resolver ajustar os dados seguintes:
    $T\,(^\circ C)$ -40.0 0.0 40.0 80.0 120.0 160.0
    $P\,(N/m^2)$ 6900 8120 9300 10500 11700 12900
    Essa tabela corresponde a dados que ajustam a equação $PV=nRT$ onde o gás é $1\,kg$ de nitrogênio e o volume é $V=10\,m^3$.
  3. Algumas pesquisas tem mostrado que para um determinado intervalo de parâmetros o coeficiente de atrito dinâmico, $\eta$, tem um comportamentos dado pela seguinte equação teórica $\eta = c\,u^2$ onde $u$ é uma medida da interação entre os átomos que deslizam sobre uma superfície e a superfície. E um experimento teórico se obteve que
    $u^*$ 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
    $\eta ^*$ 0.011 0.015 0.021 0.031 0.042
    encontre o coeficiente $c$ da equação