Introdução à dinâmica molecular clássica

só um divisor

Revisão de Mecânica Clássica,

Termodinâmica e Estatística

Como veremos mas adiante, a dinâmica molecular é uma técnica que permite calcular a evolução de entes (partículas) que interagem ou não com outros entes. Essa evolução pode ser descrita utilizando as leis clássica da Física ou utilizando uma mistura de clássica e quantica. Neste curso estudaremos a chamada dinâmica molecular clássica, onde não levaremos em consideração as interações quânticas.

Ainda que possamos analisar a dinâmica de uma única partícula a traves de técnicas computacionais, abordar esse exercício seria no mínimo desnecessário já que as leis de Newton permitem obter toda a informação física relevante. Assim a técnica de dinâmica molecular é mais útil quando se trabalha com grupo de partículas para as quais a abordagem tradicional da física (equações matemáticas) resulta difícil ou mesmo impossível de ser aplicada. Note contudo que a dinâmica molecular não é um tipo de física nova e si a utilização das mesmas lei de Newton ou equações de Hamilton para descrever um sistema físico, a única diferencia que utilizaremos da capacidade dos computadores de realizar infinitas somas em tempos finitos e como sabemos ao integrarmos (somarmos) as equações de movimento obtemos toda a física do problema.

O anteriormente exposto nos dize que necessitamos saber mecânica clássica e mecânica estatística a fim de trabalhar com dinâmica molecular é por isso que nesta primeira parte será realizada uma revisão desses tópicos antes de entrar na "parte mecânica" da dinâmica molecular

Leis de Conservação a partir das Leis de Newton

Já é bem conhecido de vocês que a partir das leis formuladas por Newton somos capazes de descrever um vasta quantidade de fenômenos que ocorrem na natureza. Simplesmente utilizando "três simples princípios", conhecidos por leis de Newton, somos capazes de tamanha proeza. Em seu cursos anteriores de mecânica, foi muito discutido as bases conceituais e teóricas da formulação da mecânica de Newton de forma que agora veremos rapidamente uns resultados gerais obtidos desses princípios.

Vamos analisar o equilíbrio de um corpo, dizemos que um corpo está em equilíbrio quando está em equilíbrio translacional e rotacional. Isto é, se a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo é zero, então o corpo está em equilíbrio translacional. Se a soma de todos os torques é zero dizemos que o corpo esta em equilíbrio rotacional. Matematicamente expressamos isto da seguente forma:

\[ \begin{cases} \sum_{i}\vec{F} & =0\\ \sum_{i}\vec{\tau} & =0 \end{cases} \]

onde a força $\vec{F}$ e o torque $\vec{\tau}$ estão definidos por

\[ \vec{F}=m\vec{a}\label{eq_2} \]

ambas equações são resultados experimentais. No caso da última eq. é fácil entender a origem do produto vectorial, quando $\vec{r}$ e $\vec{F}$ são perpendiculares o torque é máximo ($\left|\vec{\tau}\right|=\left|\vec{r}\right|\left|\vec{F}\right|\sin\theta$).

Essa duas equações são muito interessante como podem lembrar, uma tem a ver explicitamente com o movimento translacional e outra com o rotacional. De fato, podemos estudar a cinemática e a dinâmica dos corpos utilizando cada uma delas de forma independente, é claro que por um lado a cinemática (dinâmica) translacional e por outro a cinemática (dinâmica) rotacional.

Como sabem essa similaridade pode ser levada além. Sabemos que podemos formular a segunda lei de Newton afirmando que a causa de variação do estado de movimento de um corpo é a força, matematicamente isto se escreve da seguente forma:

\[ \sum_{i}\vec{F}_{i}=\frac{d\vec{p}}{dt}\label{eq_4} \]

onde $\vec{p}$ é a quantidade de movimento o momentum do corpo e é definida como

\[ \vec{p}\equiv m\vec{v}\label{eq_5} \]

A $\ref{eq_4}$ pode ser pensada como a responsável pela variação da quantidade de movimento translacional do corpo, de forma que para a variação da quantidade de movimento rotacional do corpo podemos esperar uma equação similar. Experimentalmente se observa que isso é verdade é sabemos que no que diz respeita à parte rotacional do corpo, a segunda lei (equivalente) se escreve

\[ \sum_{i}\vec{\tau}_{i}=\frac{d\vec{L}}{dt}\label{eq_6} \]

onde $\vec{L}$ é o momentum do corpo, definido como

\[ \vec{L}=\overleftrightarrow{I}\omega\equiv\vec{r}\times\vec{p}\label{eq_7} \]

onde $\overleftrightarrow{I}$ é o tensor momento de inercia e $\omega$ é a velocidade angular do corpo.

A partir das equações $\ref{eq_4}$ e $\ref{eq_6}$ podemos expressar dois teoremas fundamentais da física:

  1. O momento linear $\vec{p}$ de um sistema é conservado quando a força total que atua sobre ele é nula
  2. O momento angular $\vec{L}$ de um sistema é conservado se não ha torque atuando sobre o sistema.

Observe que estes dois teoremas guardam uma similaridade subjacente, sabemos que ambos tem a ver com variações do estado de movimento, no entanto um dos casos diz respeito ao movimento translacional e o outro diz respeito ao movimento rotacional.

Além dos momenta, existe duas outras definições que são importantes em física, a primeira é a definição de Impulso que nos diz como muda o estado do corpo quando a força atua desde o tempo $t_{1}$ até o tempo $t_{2}$, matematicamente se escreve

\[ \vec{I}\equiv\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}dt=\Delta\vec{p} \nonumber \]

grandeza esta que está relacionada com a variação do momentum linear. A outra definição é a definição de trabalho que que nos diz como muda o estado do corpo, devido à ação de uma força, quando se desloca da posição $1$ à posição $2$, matematicamente isto se escreve

\[ W\equiv\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{r}\label{eq_9} \]

O trabalho é uma grandeza que mede a capacidade de uma força em deslocar um corpo. Assim vemos que um corpo em virtude de seu movimento tem a capacidade de realizar trabalho sobre outro corpo, isto pode ser visto a partir da eq. $\ref{eq_9}$

\[ \begin{eqnarray} dW & = & \vec{F}\cdot d\vec{r}\nonumber \\ dW & = & m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}dt\nonumber \\ dW & = & m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}dt\nonumber \\ dW & = & \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)dt\nonumber \\ dW & = & d\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)\nonumber \\ W_{12} & = & \frac{1}{2}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)\label{eq_10} \end{eqnarray} \]

Onde a nova grandeza obtida chamamos de energia cinética:

\[ T=\frac{1}{2}mv^{2}\label{eq_11} \]

Igualmente um corpo também tem a capacidade de realizar trabalho em virtude da sua posição relativa. Analisemos novamente a eq. $\ref{eq_9}$, suponhamos que mantemos constante a energia cinética ao nos deslocar do ponto $1$ ao ponto $2$ e além disso suponhamos que que a integral só dependa dos pontos extremos $1$ e $2$, podemos escrever

\[ W_{12}\equiv\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=U_{1}-U_{2}\label{eq12} \]

onde a grandeza $U$ é chamada de energia potencial a qual é uma medida da capacidade que tem o corpo de realizar trabalho. Matematicamente podemos supor

\[ \vec{F}=\vec{-\nabla U}\label{eq_13} \]

de forma que

\[ W=\int_{2}^{1}\vec{\nabla U}\cdot d\vec{r}=\int_{2}^{1}dU=U_{1}-U_{2}\label{eq_14} \]

Forças que são obtidas a partir do gradiente de uma função escalar são ditas de conservativas. Assim vemos que um corpo pode ter a capacidade de realizar trabalho sobre outro devido ao seu movimento relativo ou a sua posição relativa. Dessa forma se generaliza o conceito de energia a fim de permitir a duas forma de energia mecânica, a cinética mas a potencial

\[ E=T+U\nonumber \]

Dessa eq. se vê que

\[ \frac{dE}{dt} = \frac{dT}{dt}+\frac{dU}{dt}\label{eq_15} \]

como

\[ \vec{F}\cdot d\vec{r}=d\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)=dT\nonumber \]

temos que

\[ \frac{dT}{dt}=\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{F}\cdot\dot{\vec{r}}\label{eq_16} \]

igualmente

\[ \begin{eqnarray} \frac{dU}{dt} & = & \sum_{i}\frac{\partial U}{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}\nonumber \\ & = & \sum_{i}\frac{\partial U}{\partial x_{i}}\dot{x_{i}}+\frac{\partial U}{\partial t}\nonumber \\ & = & \left(\vec{\nabla}U\right)\cdot\dot{\vec{r}}+\frac{\partial U}{\partial t}\label{eq_17} \end{eqnarray} \]

substituindo as eqs. $\ref{eq_16}$ e $\ref{eq_17}$ em $\ref{eq_15}$

\[ \frac{dE}{dt}=\left(\vec{F}+\vec{\nabla}U\right)\cdot\dot{\vec{r}}+\frac{\partial U}{\partial t}\nonumber \]

se consideramos que $\vec{F}$ utilizamos \ref{eq_13} e temos que

\[ \frac{dE}{dt}=\frac{\partial U}{\partial t}\label{eq_18} \]

de forma que se $U$ não é uma função explicita do tempo temos que

\[ \frac{dE}{dt}=0\label{eq_19} \]

resultando no terceiro teorema de conservação:

  1. A energia total de uma partícula se conserva num campo de força conservativo.

Assim vemos que as eq. de Newton propõe a conservação de algumas grandezas e reiteramos que isto simplesmente são consequências das leis de Newton não pode ser demonstrado sua veracidade, somente afirmamos que são validas se as leis de Newton o são.

Formulação Lagrangiana

Sabemos que existe uma formulação alternativa á dada por Newton para o tratamento de problemas de mecânica. A formulação mais geral das leis de movimento dos sistemas mecânicos o representa o principio de mínima ação formulado por Hamilton. Segundo este principio, todo sistema mecânico está caraterizado por uma função chamada de lagrangiana, definida por

\[ L(q_{1},\, q_{2},\,\ldots,\, q_{s};\,\dot{q}_{1},\,\dot{q}_{2},\,\ldots,\,\dot{q}_{s};\, t)\label{eq_20} \]

ou resumidamente $L(q,\,\dot{q},\, t)$, e o seu movimento satisfaz a seguente condição:

Suponhamos que nos instantes $t_{1}$ e $t_{2}$ o sistema ocupe as posições caraterizadas pelo conjunto de valores das coordenas $q^{(1)}$ e $q^{(2)}$; o sistema se move entre as posições de forma que a integral da ação

\[ S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\,\dot{q},\, t)dt\label{eq_21} \]

tome o menor valor extremo. Nessa expressão os $q$ e os $\dot{q}$ são as coordenadas e velocidades generalizadas.

O principio de Hamilton estipula, dessa forma, que a trajetória no espaço de configurações (o espaço determinado pelas $s=3n-m$ onde $n$ é o número de partículas e $m$ é o número de vínculos do sistema) seguida pelo sistema é tal que minimiza a integral $\ref{eq_21}$. Dessa forma reduzimos nosso problema à localização do caminho que externiza a ação. Para isto aplicamos as técnicas de calculo de variações estudadas e vimos que o extremo da ação acontece para o lagrangiano que verifica as equações de Euler-Lagrange do sistema

\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0\qquad\qquad i=1,2,\ldots,s\label{eq_22} \]

onde

\[ L=T-U\label{eq_23} \]

E essa forma para o lagrangiano, como vimos, se obtém tanto a traves do principio de d'Alembert's dos trabalhos virtuais

\[ \delta W-\vec{p}\cdot\delta\vec{r}=0\label{eq_24} \]

ao considerarmos o fato da força generalizada ser uma força conservativa e o potencial de que esta deriva não depender da velocidade (Mas a formulação lagrangiana pode ser aplicada a certos problemas de eletrodinâmica onde o potencial depende explicitamente da velocidade, como na força de Lorentz). Matematicamente o problema da mecânica se resume a encontrar o lagrangiano e resolver as $s$ equações diferenciais de segunda ordem sujeitas as condições iniciais.

As únicas condições que devemos verificar são:

  1. As forças atuando no sistema (excepto as forças de vinculo) devem derivar de um potencial (ou vários potenciais).
  2. Os vínculos debem ser relações entre as coordenadas das partículas e podem ser funções do tempo (vínculos holonômicos) ou não (vínculos fixos ou escleronômico).

No caso de vínculos semi-holônimos (as equações de vinculo dependem explicitamente da velocidade) utilizamos os multiplicadores de Lagrange a fim de tratar esse problemas.

Dessa forma a formulação lagrangiana nos permite atacar os problemas que resultam complicados do ponto de vista da mecânica tradicional de Newton, principalmente no que diz respeito ao vínculos, porem essa formulação não é uma nova teoria pois ela é derivada da própria mecânica de Newton, como por exemplo se utilizamos o principio dos trabalhos virtuais. De fato, suponhamos que não as lei de Newton não fossem conhecidas, poderíamos chegar a forma da eq. $\ref{eq_23}$?, sim, por exemplo analisando o problema de partícula e impondo a in variança galileana chegamos a que $L\thicksim v^{2}$ em quanto que a energia potencial entraria em problemas onde o potencial intermediá da o caráter de sistema ao conjunto de partículas. De fato essa forma de pensar, matematicamente a física é muito utilizada, impondo princípios generais de simetria muitos físicos montam lagrangiana e comparam os resultados que estas dão com os resultados experimentais, porem cada problema tem sua lagrangiana. E es justamente essa propriedade, da lagrangiana estar relacionada com propriedades de simetria do sistema que vai nos permitir entender a origem da teoremas de conservação, do ponto de vista de simetrias dos sistemas.

Teoremas de conservação

Durante o movimento de um sistema mecânico, as $2s$ grandezas, $q_{i}$ e $\dot{q_{i}}$ ($i=1\ldots s$), que determinam o estado do sistema variam no tempo. Contudo, existem funções dessas grandezas cujos valores se mantem inalterados durante o movimento, dependendo somente do estado inicial do sistema. A essas funções são coletivamente chamadas de integrais de movimento.

Para um sistema fechado (sistema sobre o qual não atua um campo externo) o numero de integrais de movimento é igual a $2s-1$devido ao fato de que neste tipo de sistema as equações de movimento não dependem explicitamente do tempo (Lembremos que a homogeneidade do tempo junto com as isotropia e homogeneidade do espaço implicam que é válido o principio de relatividade de Galileu o qual postula a existência de sistema de referencia inerciais. Assim $L\neq f(r,t)$ em sistemas cerrados, assim suponhamos a partícula livre, se o tempo não fosse homogêneo diferentes instantes de tempo não seriam equivalente, assim inicialmente a partícula estaria em repouso e num instante posterior estaria em movimento) a eleição da origem do tempo é arbitraria e uma das constantes arbitrarias na solução das equações pode ser sempre considerada como uma constante aditiva $t_{0}$ ao tempo. Eliminando $t+t_{0}$ nas $2s$ funções

\[ \begin{eqnarray*} q_{i} & = & q_{i}\left(t+t_{0},\, C_{1},\, C_{2},\ldots\, C_{s}\right)\nonumber\\ \dot{q}_{i} & = & \dot{q}_{i}\left(t+t_{0},\, C_{1},\, C_{2},\ldots\, C_{s}\right)\nonumber \end{eqnarray*} \]

de onde podemos expressar as $2s-1$ constante $C$ como funções de $q$ e $\dot{q}$ e estas funções serão as integrais do movimento.

Contudo, nem todas as contantes de movimento são iguais, tem umas integrais do movimento que se deriva como consequência das propriedades de isotropia e homogeneidade do espaço. A grandezas representada por tais integrais de movimento tem uma propriedade em comum: são aditivas, ou seja, seu valor para um sistema formado por varias partes cujas interação é desprezível é igual à soma das grandezas de cada uma das partes.

É justamente esta propriedade aditiva que faz dessa grandezas tão importante em mecânica, sua aditividade. Suponhamos, por exemplo, que dois corpos interagem um certo tempo. Como cada uma das integrais aditivas do sistema total é, tanto antes como depois da interação, igual à soma do seus valores para os dois corpos tomados separadamente, os teoremas de conservação para estas grandezas fazem possível de modo imediato deduzir uma serie de conclusões referentes ao estado do movimento dos corpos depois da interação, se é conhecido seu estado antes da interação.

Conservação da energia

Devido à homogeneidade do tempo o lagrangiano de um sistema fechado não depende explicitamente do tempo, assim

\[ \begin{eqnarray*} \frac{dL}{dt} & = & \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\frac{dq_{i}}{dt}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\frac{d\dot{q}_{i}}{dt}\\ & = & \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\dot{q_{i}}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\ddot{q}_{i} \end{eqnarray*} \]

(note que o termo correspondente a $\frac{\partial L}{\partial t}$ é igual a zero pela não dependência de $L$ em $t$). Usando $\ref{eq_22}$

\[ \begin{eqnarray*} \frac{dL}{dt} & = & \sum_{i}\dot{q_{i}}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\right)+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\ddot{q}_{i}\\ & = & \sum_{i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}\right)\\ 0 & = & \frac{d}{dt}\left(\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}-L\right) \end{eqnarray*} \]

de onde deduzimos que a grandeza

\[ E=-H\equiv\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}-L\label{eq_26} \]

permanece constante no tempo durante o movimento de um sistema fechado, isto é, uma integral de movimento. A esta constate se lhe chama de energia e a sua aditividade é consequência da aditividade de $L$, da qual é uma função linear. A conservação da energia continua sendo valida para sistema submetidos a campos externos, mas onde estes campos não podem depender explicitamente de $t$, já que foi está a única imposição adotada a fim de deduzir o resultado anterior. Sistemas mecânicos cuja energia se conserva são chamados de sistemas conservativos.

O lagrangiano de um sistema fechado (ou colocado num campo constante) é da forma

\[ L=T(q,\dot{q})-U(q)\nonumber \]

onde a energia cinética $T$ é uma função quadrática das velocidades (num sistema esclerotômico = tempo não aparece explicitamente),ou seja

\[ T=\sum_{ij}a_{ij}\dot{q}_{i}\dot{q}_{j}\nonumber \]

dessa forma temos que

\[ \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}=\sum_{i}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}=\sum_{i}a_{ij}\left(\dot{\dot{q}}_{j}+\dot{q}_{i}\delta_{ij}\right)\dot{q}_{i}=2T\nonumber \]

de forma que substituindo em $\ref{eq_26}$

\[ \begin{eqnarray*} E & = & 2T(q,\dot{q})-\left[T(q,\dot{q})-U(q)\right]\\ E & = & T(q,\dot{q})+U(q) \end{eqnarray*} \]

Ou seja que a energia pode escrever como a soma de dois termos essencialmente distintos: a energia cinética, que só depende das velocidades e da energia potencial, que só depende das posições. Em coordenadas cartesianas

\[ E=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}v_{i}^{2}+U(\vec{r}_{1},\,\vec{r}_{2},\ldots,\vec{r}_{n})\nonumber \]
Conservação da quantidade de movimento linear

Neste caso a conservação tem origem na homogeneidade do espaço. Devido a esta homogeneidade, as propriedade de um sistema fechado se mantem inalterada devido à ação de qualquer deslocamento do sistema inteiro. Assim, vamos considera um pequeno deslocamento $\delta\vec{r}$ e procuremos a condição que mantenha invariante o lagrangiano.

Um deslocamento paralelo é uma transformação na qual cada partícula no sistema realiza o mesmo deslocamento, assim, trabalhando num sistema cartesiano, o radio vetor $\vec{r}$ passa para $\vec{r}+\delta\vec{r}$. Se escrevemos $\delta\vec{r}=\sum_{i}\delta x_{i}\mathbf{e}_{i}$ e $\vec{r}=\sum_{i}x_{i}\mathbf{e}_{i}$ uma variação infinitesimal nas coordenadas, mantendo fixa as velocidades, resulta numa variação nula no lagrangiano $L(x_{\alpha i},\dot{x}_{\alpha i})$, isto é

\[ \delta L=\sum_{\alpha,i}\frac{\partial L}{\partial x_{\alpha,i}}\cdot\delta x_{\alpha,i}+\sum_{\alpha,i}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{\alpha,i}}\cdot\delta\dot{x}_{\alpha,i}=0 \]

como a variação é somente em $\vec{r}$ o segundo termo é zero. Assim, como a variação $\delta x_{\alpha,i}$ é totalmente arbitraria, para que $\delta L=0$ é necessário que

\[ \sum_{\alpha,i}\frac{\partial L}{\partial x_{\alpha,i}}=0\label{eq_27} \]

das equações de Euler-Lagrange (eq. $\ref{eq_22}$)

\[ \sum_{\alpha,i}\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{\alpha i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial r_{\alpha i}}\right]=0\nonumber \]

de onde se concluí que

\[ \frac{\partial L}{\partial v_{\alpha i}}=const\nonumber \]

Como, em coordenadas cartesianas

\[ L=\frac{1}{2}\sum_{\alpha}m_{\alpha}v_{\alpha}^{2}-U(\vec{r}_{1},\,\vec{r}_{2},\ldots,\vec{r}_{n})\label{eq_28} \]

temos que se

\[ p_{i}\equiv\frac{\partial L}{\partial v_{\alpha i}}\label{eq_29} \]

então

\[ \vec{p}\equiv\sum_{\alpha}m_{\alpha}\vec{v}_{\alpha} \]

onde é evidente o caráter aditivo do momentum do sistema que se conserva. Interessantemente, este resultado afirma que é possível que as componentes individuas do momentum se conservem independentemente, o único que se precisa é que o campo externo não esteja atuando nessa direção. Veja que a eq. $\ref{eq_27}$ tem um significado físico simples (usando $\ref{eq_28}$)

\[ \sum_{\alpha,i}\frac{\partial L}{\partial x_{\alpha,i}}=-\sum_{\alpha,i}\frac{\partial U}{\partial x_{\alpha,i}}\label{eq_30} \]
Conservação do momentum angular

Estudemos agora o teorema de conservação derivado da isotropia do espaço.

Por isotropia entendemos que as propriedades mecânicas de um sistema fechado não mudam numa rotação no espaço do sistema como um todo. Dessa forma, consideremos uma rotação infinitesimal arbitrário e procuremos a condição para manter o lagrangiano invariante.

Chamemos de vetor de rotação infinitesimal $\delta\vec{\phi}$ o vetor cujo modulo é igual ao angulo de rotação $\delta\phi$e cuja direção coincide com o eixe de rotação (de forma que a rotação seja realizada seguindo a regra da mão direita na direção de $\delta\phi$).

Consideremos primeiro o incremento no vetor de posição correspondente a uma partícula do sistema, tomemos como origem a coordenada situada no eixo de rotação. O deslocamento lineal do vector posição em função do angulo é

\[ \left|\delta\vec{r}\right|=\vec{r}\sin\theta\delta\phi\nonumber \]

A direção do vetor $\delta\vec{r}$ é perpendicular ao plano definido por $\vec{r}$ e $\delta\vec{\phi}$ e, por tanto

\[ \delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r}\label{eq_31} \]

A rotação do sistema não muda só a direção dos vetores deposição, sinão que também as velocidades das partículas. O incremento de velocidades com respeito a um sistema fixo de coordenadas será

\[ \delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v}\label{eq_32} \]

Aplicando estas condições ao lagrangiano e lembrando que ele não pode mudar por uma rotação

\[ \delta L=\sum_{i,\alpha}\left(\frac{\partial L}{\partial x_{i,\alpha}}\delta x_{i,\alpha}+\frac{\partial L}{\partial v_{i,\alpha}}\delta v_{i,\alpha}\right)=0\nonumber \]

como de $\ref{eq_29}$ e $\ref{eq_30}$

\[ p_{i}\equiv\frac{\partial L}{\partial v_{i}}\qquad\textrm{e}\qquad\dot{\dot{p}_{i}=F_{i}=\frac{\partial L}{\partial x_{i}}}\nonumber \] \[ \sum_{i,\alpha}\left(\dot{p}_{i\alpha}\delta x_{i\alpha}+p_{i\alpha}\delta v_{i,\alpha}\right)=0 \]

usando e $\ref{eq_31}$ e e $\ref{eq_32}$

\[ \sum_{\alpha}\left[\dot{\vec{p}}_{\alpha}\cdot\left(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_{\alpha}\right)+\vec{p}_{\alpha}\cdot\left(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_{\alpha}\right)\right]=0\nonumber \]

permutando os elementos

\[ \begin{eqnarray*} \delta\vec{\phi}\cdot\sum_{\alpha}\left[\vec{r}_{\alpha}\times\dot{\vec{p}_{\alpha}}+\vec{v}_{\alpha}\times\vec{p_{\alpha}}\right] & = & 0\\ \delta\vec{\phi}\cdot\frac{d}{dt}\sum_{\alpha}\left(\vec{r}_{\alpha}\times\vec{p}_{\alpha}\right) & = & 0 \end{eqnarray*} \]

de onde, como $\delta\vec{\phi}$ é uma rotação arbitraria, obtemos que para que o lagrangiano se mantenha constante apos uma rotação infinitesimal, é necessário que o momentum angula $\vec{L}$

\[ \vec{L}=\sum_{\alpha}\vec{r}_{\alpha}\times\vec{p}_{\alpha}=\textrm{constante} \]

ou conservado no movimento de um sistema fechado. De forma similar ao momento linear, esta grandeza é aditiva.