Introdução à dinâmica molecular clássica

só um divisor

Introdução à dinâmica molecular I

Dinâmica molecular é uma técnica computacional que em muitos sentidos lembra o trabalho realizado por um pesquisador experimental devido ao fato de que o algoritmo utilizado para executar a tarefa é o mesmo em ambas das situações (o muito similar). Contudo possui diferencia fundamentais à pesquisa experimental principalmente pelo fato de ser de custo relativamente baixo, com um simples "enter" você reinicia todo o experimento numérico. E é este o ponto fundamental na técnica, é uma ferramenta numérica utilizada por Físico, Químicos, Biólogos e diversas engenharias.

As origens do método podem ser encontradas em 1891 quando William Sutherland analisou a dinâmica de bolinhas de gude numa caixa e desta análise concluiu que quando um sistema é resfriado os vizinhos das partículas as engaiola. Outros modelos similares foram utilizados para entender a dinâmica dos líquidos.

As primeiras simulações foram feitas pelo FPU porem as caraterísticas encontradas nas simulações contemporâneas de DM foram realizada primeiramente por Alder e Wainwright quando simulara esferas dura.

Por dinâmica molecular clássica entendemos uma técnica numérica que permite evoluir temporalmente um conjunto de partículas, ou seja, é uma técnica que integra as equações de movimento (resolver as equações de Newton) de todas as partículas que compõem um dado sistema.

Caraterísticas da Dinâmica Molecular

A metodologia geral que deve ser seguida para realizar uma simulação por dinâmica molecular lembra em muitos aspectos ao protocolo seguido para elaborar um experimento:

Este último ponto é crucial pois a DM permite calcular diversos observáveis observados experimentalmente e os resultados se expressam da mesma forma como são expressados os resultados experimentais, via um valor médio e o desvio em torno desse valor. Assim é admissível afirmar que DM é um experimento virtual. Esse caraterísticas também é encontrada na técnica chamada micro magnetismo onde a simulação de sistema magnéticos reproduz o protocolo seguido pelos físicos experimentais que estudam sistemas magnéticos nanoscópicos.

Por outro lado não pode se negar que a DM é uma técnica teórica, você utiliza equações matemáticas e ferramentas computacionais para atingir o resultado que é obtenção de valores próprios que caraterizem o sistema em estudo. Na equação $\ref{eq01}$, por exemplo, utilizamos um resultado obtidos da teoria cinética. Como veremos mas adiante utilizaremos uma combinação de Física Clássica e Mecânica Estatística para construir algoritmos de integração. Em algumas situações é possível partir de primeiros princípios e obter, via Física Quântica, potenciais inter partículas. Em fim, se utiliza de todas as ferramentas que a Física disponibiliza para preparar a amostra.

Do anterior vemos que devido às caraterísticas que a DM possui não podemos classificar ela como só teoria, mas de forma alguma se pode dizer que é experimental, por tanto ela entra numa nova classificação que tem se advogado nos últimos anos para a ciência, como uma área computacional. Na visão contemporânea das ciência os métodos numéricos ganharam uma status de igualdade com a formas em que tradicionalmente se dividia às ciencias:teoria e experimentação. Em especial na Física hoje em dia falamos da Física Experimental, da Física Teórica e da Física Computacional, todas sujeitas às corroboração em última instancia da primeira, mas todas trabalhando para a compreensão dos fenômenos naturais.

O potencial de interação

Como vimos, com DM podemos fazer experimentos virtuais utilizando diversas "substancias" mas, como se define que temos uma determinada substancia ou outra, como dizemos para o computador estas partículas daqui são de argônio e aquelas de lá são prata, em fim, como se define a física do problema.

Como dito previamente a DM resolve as equações de movimento do sistema de partículas, o que não foi dito é que estas partículas são partículas interagentes e portanto na visão clássica de nosso problema uma exerce força sobre as outras. É nessa interação que guarda quase toda a física do modelo, a outra parte da Física fica contida na forma como as partículas interagem com o ambiente em que estão contidas (ou seja, falando do ponto de vista termodinâmico, como aplicamos os vínculos ao sistema).

Na grande maioria das simulações por dinâmica molecular se utiliza como potencial de interação potenciais de pares, isto é, potenciais que dependem somente das propriedades das 2 partículas consideras na interação e em geral estes potencial tem a forma funcional $u=u\left(\vec{r}_{ij}\right)$ de forma que a energia total do sistema constituído pelas partículas está dada por \[ \cal{U} = \sum_i \sum_{j>i} u\left(r_{ij}\right) \] onde \[ r_{ij} = \left|\vec{r}_i - \vec{r}_j\right| \] dessa expressão podemos calcular a força que atua sobre a $i-esima$ partícula via \[ \vec{F}_i = -\vec{\nabla} \cal{U} \]

Tipicamente a força experimentada entre átomos tem a forma amostrada na figura acima na qual vemos que existe uma faixa de separações na qual a força é totalmente repulsiva e outra faixa na qual a força é totalmente atrativa. Se tivéssemos 2 partículas isoladas uma próxima da outra à temperatura zero a posição de equilíbrio do sistema seria o mínimo do potencial.

Condições Periódica

Os vínculos termodinâmicos (temperatura constante, pressão constante, potencial químico constante, etc.) são mantido via algoritmos de integração desenhados para tal fim.

Ainda que com o advento da nanotecnologia se utilizem "paredes físicas" para conter o sistema a ser simulado, os vínculos mecânicos, que são as paredes do sistema, em geral são escolhidos para simular situações do tipo bulk onde se espera que o sistema seja infinitamente grande em todas as direções. Para conseguir isso utilizamos condições periódicas em todas as direções espaciais, isso equivale a pensar que os sistema é replicado em torno dele mesmo como mostra ad infinitum de forma a simularmos assim um sistema infinito. Na prática o que se faz é checar se um partícula sai por uma das fronteiras do sistema, caso isso aconteça ela é reposicionada na fronteira diametralmente oposta, isto é equivalente a dizer que a partícula da caixa replicante entro no universo que observamos.

em essa aproximação o centro fica localizado no centro do sistema e se nosso universo tem forma cúbica ele se estende desde $(-L/2, L/2)$ para cada uma das coordenadas, para aplicarmos as condições periódicas fazemos (versão Fortran)

      if (rx(i) >= caixaD2) Then
        rx(i) = rx(i) - caixa
      else ((rx(i) <= caixaD2) Then
        rx(i) = rx(i) + caixa
      

onde caixa é o tamanho da caixa de simulação e caixaD2 é a metade da caixa. No caso dos Fortrans temos a opção de escrever esses comandos utilizando uma linha só

      rx(i) = rx(i) - caixa * anint(rx(i) / caixa)
      

nessa versão do código utilizamos a função anint a qual devolve o inteiro mais próximo convertido a real: anint(-0.49)=0.0, anint(-0.51)=-1.0.