Física Contemporânea

só um divisor

Introdução à teoria do Caos

Recomendo tirar um tempo para assistir o filme: Caos - Uma aventura matemática, criado por Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, com certeza é muito melhor que toda a lenga lenga do texto que se segue a partir deste ponto (fora a contribuição da Francisca)...

O Texto a seguir foi retirado da dissertação de Francisca Pereira - MNPE, Araranguá.

Caos, uma palavra bastante comum no linguajar popular, que utilizamos como sinônimo de aleatoriedade, azar, não previsibilidade, desordem. Esses sinônimos são recentes do ponto de vista etimológico já que a palavra em sim deriva de khaos, palavra grega que significa abismo, vazio, vasto. De fato, essa origem etimológica está relacionada com a ideia subjacente por trás da palavra.

Para os Gregos no inicio não existia nada além do deus khaos e por se cansar da soledade crio Gaia (a mãe Terra), Eros (o amor ou a procriação) e Tártaro (o inferno), a partir de Gaia são gerados Urano (o céu), os Titãs e os Ciclopes, dos Titãs nascem Zeus, Héstia, Hera, Deméter, Poseidon e Hades (os olimpianos) os quais após uma gerra contra alguns Titãs se transformam nos deuses olimpianos (ou olímpicos) os quais matem em harmonia o universo. O interessante é que segundo a mitologia, Gaia e Tártaro geram Tifão o qual é induzido por Gaia a enfrentar a Zeus muito provavelmente para restabelecer o equilíbrio entre a ordem (personificado pelos olimpianos) e o Khaos (personificado por Tifão).

Na mitologia Egípcia também encontramos elementos que indicam o surgimento da ordem do caos e a eterna luta entre estas condições. Ainda que bem difícil, vamos tentar dar um panorama geral dessa religião e sua relação com o caos. A religião egípcia era uma religião monoteísta (diferentemente da grega), seu deus possuía diversos atributos os quais são chamados de Neteru (são os deuses/diosas que as pessoas conhecem). No inicio não existia nada somente as águas do khaos chamadas Nun um deus potencial que se concretiza no deus Áton (o dios sol)1. Atón tem varias Netus (personalidades), cada uma representado momentos diferentes do sol, Ra (sol do meio dia), Anum, Khepri (sol do amanhecer). De Ra se originam Tefnut (deusa da água) e Shu (deus do ar) e deste se originam Nut (que representa o ceu) e Geb (que representa a Terra). Resumidamente vemos novamente a ordem surgindo do khaos nesta mitologia, o interessante, no entanto, é que nessa mesma mitologia atribui à Atón o papel de protetor dessa ordem pois toda noite (quando o sol deita) ele tinha que lutar contra Apófis (ou Apep), uma ser que vivia nas profundezas de Nun e tentava impedir o trajeto de Áton nos ceus. Dessa forma os egípcios retratam o khaos tentando trazer a desordem à ordem representada por Áton e aqui novamente vemos que aparece a concepção que temos sobre a palavra Caos.

De fato, quase todas as religiões mostram esse tipo de estrutura lógica, a emergência da ordem do caos; mesmo as mitologias baseadas nas crenças Judaicas.

Contrariamente à crença popular oriundas das tradições mitológicas herdadas dos gregos, egípcios e outras tantas civilizações antigas, na Física e Matemática caos não é nem vazio nem desordem no sentido amplo da palavra. Poderíamos dizer que o caos é uma desordem ordenada no sentido de que existem regras que regem essa desordem e até possível se encontrar padrões nessa desordem. É importante neste ponto que nos distingamos dois conceitos que nos acompanharam durante todo este trabalho, aleatoriedade e caos. Aleatoriedade ou estocasticidade é um termo utilizado para indicar a impossibilidade física em predizer um resultado, por exemplo as loterias Caixa funcionam assim, os números são marcados em bolinhas similares a bolinhas de tênis de mesa e são introduzidas dentro de um globo giratório, uma pessoa arbitraria é selecionada para que aperte um botão o qual abre uma escotilha pela qual uma das bolinhas de dentro do globo é retirada do globo por tanto, ainda que em principio possamos calcular a trajetória de todas as bolinhas dentro do globo, o momento da retirada depende da vontade da pessoa que aperta o botão, isso é impossível de prever (ver matéria da globo). Agora, se temos um evento que parece ser aleatório, mas que é passível de ser predizível, então se trata de um evento caótico.

Comportamento caótico no qual subjaze uma regra sutil, evitar a colisão.

A derrocada do determinismo

Pierre Simon de Laplace.

As ideias de caos estão intimamente ligadas às ideias de previsibilidade, que numa perceptiva clássica dizem respeito ao determinismo em Física. Durante séculos os Físicos enalteceram o determinismo da física como a joia da coroa, a ponto de que 1812 Pierre Simon de Laplace no seu livro “Essai philosophique sur les probabilités” afirma:

Devemos considerar o estado atual do universo como o efeito de seu estado anterior e, como a causa do que se segue. Uma inteligência que, por um instante dado sabia todas as forças com que a natureza é animada e a situação respectiva dos seres que a compõem, se de fato fosse grande o suficiente para enviar esses dados para análise, abraçar a mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e aqueles do átomo mais leve: nada seria incerto para ela, e o futuro como o passado, estaria presente aos seus olhos. A mente humana oferece, na perfeição que ele era capaz de dar à astronomia, uma ideia fraca dessa inteligência. Suas descobertas em em e geometria mecânica, juntamente com a de gravidade universal, colocá-lo na faixa de entender nas mesmas expressões analíticas do passado e os estados futuros do sistema mundial. Aplicando o mesmo método para alguns outros objetos de seu conhecimento, ele conseguiu trazer às leis gerais fenômenos observados, e prever essas circunstâncias dadas devem produzir.

Essas ideias sobre determinismo são colocadas em dúvida poucos anos depois pelo pai do eletromagnetismo moderno, James Clerk Maxwell. Na suas analises sobre colisões atômicas, que deram por resultado a teoria cinética dos gases, Maxwell reconhece o papel fundamental que o conceito que as condições iniciais do sistema desempenhava sobre o estado futuro do sistema. Essa observação é exposta claramente por ele num debate realizado na Universidade Cambridge 1873, ele afirma,

É uma doutrina metafísica que a partir dos mesmos antecedentes se obtenhas as mesmos consequentes. Ninguém pode negar isso. Mas não é de muito uso em um mundo como este, em que os mesmos antecedentes nunca mais coincidam, e nada aconteça duas vezes.... O axioma físico que tem um aspecto um pouco semelhante é “Que a partir dos mesmos antecedentes se obtenham os mesmo consequentes”. Mas aqui nós vamos além... a partir da precisão absoluta a uma aproximação mais ou menos grosseira. Há certas classes de fenômenos, como já disse, em que um pequeno erro nos dados só introduz um pequeno erro no resultado... Há outras classes de fenômenos que são mais complicados, nos quais instabilidades podem ocorrer...

Onde ele claramente indica que é um novo tipo de fenômeno onde o determinismo (mesmos antecedente resultam em mesmo consequente) não é mais verificado. Maxwell deixa de lados os rodeios é dúvida coloca sobre suspeita o determinismo.

Fragmento do filme, Caos - Uma aventura matemática, criado por Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Em 1908 no seu ensaio “Science and Method”, Hery Poincaré reformula as palavras ditas por Maxwell:

Se soubéssemos exatamente as leis da natureza e a situação do universo no momento inicial, poderíamos prever exatamente a situação desse mesmo universo em um momento seguinte. mas mesmo se fosse o caso de que as leis naturais já não sejam nenhum segredo para nós, só podia conhecer a situação inicial, aproximadamente. Se isso nos permitiu prever a situação sucedendo com a mesma aproximação, que é tudo o que precisa, e devemos dizer que o fenômeno havia sido previsto, que é governado por leis. Mas nem sempre é assim; pode acontecer que pequenas diferenças nas condições iniciais produzem muito grandes nos fenômenos finais. Um pequeno erro no primeiro vai produzir uma enorme erro neste último. Previsão torna-se impossível, e nós temos o fenômeno fortuito
Henri Poincaré.

O problema dos 3 corpos

Como curiosidade relacionada ao redescobrimento do fundamento da teoria do Caos, os trabalhos realizado por Poincaré que levaram ele à conclusão acima exposta foram realizados por ele como uma tentativa de ganhar a competição proposta pelo rei Oscar da Suécia em ocasião do seu sexagésimo aniversário: verificar a estabilidade do sistema solar . Tentado encontrar uma solução ao problema proposto, Poincaré analisou o sistema Sol - Terra - Lua (como aquecimento antes de ir para o de n corpos) e percebeu que esse sistema não apresenta solução única e, de fato, é dependente sensivelmente da condição inicial do sistema (1888).

Figura 01: Pontos de Lagrange, no sistema Terra-Sol e no sistema Júpiter-Sol, este último resultado na posição dos asteroides troianos.

Continuando com as curiosidades em relação ao descobrimento da teoria do caos, o problema de três corpos é um problema antigo e que tinha sido abordado por matemáticos de peso como Euler e por Lagrange, Euler ataca o problema considerando 2 massa fixas e Lagrange considera o caso em que dos corpos massivos orbitam seu centro de massa (baricentro) e a terceira massa (desprezível, se comparada com as outras) é localizada em um dos 5 pontos (conhecidos como pontos de Lagrange) onde está se manterá estacionária em relação às outras duas massa

O problema de três corpos

A solução ao problema dos 3 corpos ainda não existe, no entanto vários pesquisas a esse respeito estão em andamento, como mostra disso cito uma pesquisa recente realizada por Milovan Šuvakov e V. Dmitrašinović utilizando métodos numéricos determinou 13 orbitas distintas para o caso de um sistema de massa iguais se movendo no plano sob a ação da gravidade Newtoniana e com momento angular nulo, esse trabalho publicado na Physical Review Letter. O interessante desse estudo é que Peter Armitage montou uma simulação em javascript que permite ver essas orbitas encontradas no trabalho (o software original pode ser obtido no GitHub)

Como assim, a mecânica estatística Funciona?

Voltando ao problema da teoria do caos, os trabalhos realizados por Poincaré sedimentaram as bases do que hoje conhecemos como teoria do caos no entanto, se me permitem, eu diria que Poincaré foi a pessoa certa para o problema certo no momento errado, já que o trabalho realizado por ele ficou, digamos, quase esquecido.

Em janeiro de 1890, Poincaré submeteu um artigo revisado de 270 páginas, no qual provou que o problema de três corpos não pode ser resolvido em geral porque, para algumas condições iniciais, as variáveis da solução podem percorrer o espaço de fase de forma irregular e imprevisível; em outras palavras, para pequenas incertezas nas condições iniciais não haveria limites de erro na trajetória de solução subsequentes no espaço de fase.

Kolmogorov-Arnold-Morse.

Em 1954 Andreï N. Kolmogorov (depois dele, em 1962 Jürgen K. Moser e 1963 Vladimir I. Arnold) revisita o problema de Poincaré, e mostra que um movimento regular quase periódico deve persistir em um sistema integrável mesmo se são introduzidas pequenas perturbações.

Um dos pilares da mecânica estatística é o chamado teorema ergódico, o teorema ergódico foi proposto por Boltzmann em 1871 quando reinterpreto a equação de distribuição de velocidades proposta por Maxwell e estabelece que um único ponto do espaço de fase é capaz de aceder a toda a a hiper superfície de dentro do espaço de fase que lhe é permitida ao sistema (compatível com sua energia). Assim se um ponto é descrito como $(q,p)$ então a hiper superfície dentro do espaço de fases $\phi_\Gamma$ será tal que $p = \phi_\Gamma (q)$

Figura 01: Boltzmann depois de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou.

O problema com a ideia de Boltzmann é que sistemas integrais não são ergódicos, para serem ergódicos o Hamiltoniano deve ser da forma \[ H(x,\epsilon) = H_0(x) + \epsilon H_{pert}(x)\quad|\epsilon| << 1 \] nesse caso o teorema da recorrência de Poincaré se verifica (que o levou à afirmação de que as séries de Lindstedt no sistema de 3 corpos não são convergentes) o qual significa que dentro do espaço de fases o Hamiltoniano fica restrito a um região limita menor do que o volumem acessível chamada de atrator, no entanto o Teorema KAM mostrou que é possível que para outros valores esse atrator seja rompido e explorada toda as região do espaço de fases compatíveis com a energia do sistema. E a mecânica estadística como fica? Na verdade existem varias explicações (nenhuma definitiva, são só propostas) que tentam "salvar" a ergodicidade de Boltzmann, uma das mas interessantes proposta está baseada na analise do fluxo misturante no espaço de fase, recomendamos que os interessados em aprofundar a discussão a esse respeito deem uma lida no artigo do professo M. D Coutinho Filho publicado na Qimíca Nova 17(6) de 1994 ou no livro Statistical Mechanics de S. K. Ma, capítulo 26 (pg 440); seja como for é um problema em aberto.

O renascimento do Caos

Mesmo com o trabalho impressionante realizado por Poincaré, suas ideia se mantiveram o submundo da matemática. A virada aconteceu com o descobrimento (acidental) realizado por Edward Lorenz. Lorenz foi um matemático que serviu durante a segunda Grande Guerra como meteorologista para o exercito Americano. Finalizada a Guerra Lorenz decidiu seguir sua carreira como meteorologista mas sem esquecer de sua origem matemática. Diferentemente do seu colega de (nova) profissão, ele se interessou pelo problema da previsão climática, na época esse problema não era abordado pelos meteorologista sérios pois consideravam isso um tipo de adivinhação (Gleick - CAOS, a criação de uma nova ciência, pg 11). Lorenz partiu estudando o sistema de Rayleigh-Bernard o qual utilizaria para modelar a atmosfera.

Figura 03: Célula de conveção (da wiki).

O modelo de Rayleigh-Bernard consiste de um par de placas paralelas sujeitas a temperaturas diferentes e entre as quais existe um fluído sujeito à ação da gravidade. Se a placa superior está a uma temperatura maior do que a da placa inferior o fluido entre elas, depois de um tempo, atingira o estado estacionário estabelecendo-se um gradiente de temperatura entre as placas. Agora, se a temperatura entre as placas é invertida, o calor se difundira lentamente da placa de inferior para a placa superior mas, se o fluxo de calor ultrapassa um certo valor crítico o sistema passa do estado estável condutivo para o estado convectivo onde o fluído propriamente se movimenta

Lorenz removeu tudo o que considerou desnecessário (ver Chaos, from simples models to complex systems, pg 51) para utilizar esse mesmo modelo e aplicar à atmosfera, o fluído, chegando a seguintes singelas equações \[ \begin{align*} \dfrac{dX}{dt} &= -\sigma X + \sigma Y\\ \dfrac{dY}{dt} &= -XZ = rX - Y\\ \dfrac{dZ}{dt} &= XY - bZ \end{align*} \] onde $X$ está relacionada à convecção, $Y$ está relacionada à diferencia de temperatura entre o fluxo ascendente e descente, $Z$ é o desvio do comportamento linear na temperatura, $\sigma$ é o número de Prandtl (razão entre a Viscosidade e difusividade térmica), $r$ está relacionada à diferencia de temperatura entre as placas (na verdade é a razão entre o número de Rayleigh e o valor crítico), $b$ é um fator geométrico.

Figura 04: Royal McBee LGP-30

Para resolver esse sistema de equações Lorenz utilizou um Royal McBee LGP-30, um computado de tubo com uma frequência de 120 kHz e 4096 palavras de memoria de 31 bits. Como resultado de suas simulações Lorenz (ver artigo "Deterministic nonperiodic flow" da J. Atmos. Sci., 20, 130-141 disponível no site do MIT) obteve que evolução das variáveis do seu modelo, quando escolhido adequadamente os parâmetros, apresentou comportamentos irregulares o que indicava que, a partir do seu modelo, seria impossível prever o comportamento do clima. Outro resultado interessante foi a sensibilidade às condições iniciais que seu sistema de equações apresentava, como ele mesmo escreveu no artigo: "condições iniciais diferentes evolem para estados completamente diferentes"

Figura 05: O famoso atrator de Lorenz (para ver dinamicamente acesse o site http://lab.aerotwist.com/webgl/strange-attractor/)

Na figura acima podemos ver o famoso atrator de Lorenz, no seu artigo original de 1963 ele apresentou uma projeção com parte de duas trajetórias desse atrator, mais foi provavelmente uma figura como essas que o motivou a apresentar uma palestra na 139 reunião da associação americana para avanços da ciência intitulada "Does the Flap of a Butterfly's wings in Brazil Set Off a tornado in Texas?" (O bater de asas de uma borboleta no Brasil provoca um tornado no Texa?).

Animação em Python criada por Jake VanderPlas

A essência do caos

Até este ponto temos passeado um pouco pelos fundamentos da teoria do caos mas não respondemos à pergunta fundamental, o que é caos? O primeiro que foi visto é que caos não é desordem no sentido coloquial da palavra, de fato, as equações de Lorenz são equações determinísticas, uma vez que dada uma condição inicial sempre teremos o mesmo resultado no fim. Para dizermos que um sistema é caótico ele deve apresentar algumas características: deve ser sensível à escolha das condições inciais, as orbitas dentro do espaço de fase sejam densas, isso significa que todo ponto do espaço de fases esta arbitrariamente próximo de uma orbita periódica e, deve ser topologicamente misturante ou seja, dado um conjunto aberto do espaço de fase, sua evolução no tempo será tal que eventualmente se sobreporá a outra região do espaço.

Figura 05: Seis interações de um conjunto de estados do mapa logístico $x_{k+1} = 4x_k\left(1-x_k\right)$. Os dados em azul mostram o conjunto original os quais formam um círculo (aproximadamente), na última interação os dados preenchem quase que completamente o espaço de fase (fonte: wikipedia).

Como vimos, o conceito de fluxo misturante é muito importante em Física, matematicamente é a mesma ideia que temos quando deixamos uma gota de tinta se misturar num copo de água; esse comportamento é importante porque nem todo sistema sensível à condições iniciais é caótico, por exemplo o mapeamento $x_{k+1}=2x_k$, nesse mapeamento a escolha de dois pontos iniciais próximos produz depois de muitas iterações, dados completamente diferentes, os quais convergem para $\pm \infty$, se $x\neq 0$.

Atratores

Figura 06: Retratos do espaço de fase (do livro de James Gleick).

A forma de uma série temporal, ou sua representação dentro do espaço de fase, pode nos dar uma ideia de se estamos diante de um sistema caótico ou não, por exemplo na figura acima temos quatro caso de comportamentos típicos encontrados dentro dos chamados sistemas dinâmicos, de esquerda para direita temos: o primeiro sistema converge para o estado estacionário; o segundo sistema repete-se periodicamente formando uma órbita cíclica; o terceiro é um movimento cíclico "de período três"; o último é caótico. Dessa forma vemos que se analisamos o comportamento dentro do espaço de fase podermos ter uma ideia da evolução do sistema, pelo menos a longo prazo.

Figura 07: Diferentes tipos de atratores.

Assim, podemos estabelecer uma classificação sobre os destinos finais que um sistema terá na sua evolução dentro do espaço de fase. Podemos ter pontos de atração que podem ser sumidouros ou fontes, podemos ter um ponto de sela onde as linhas parecem se cruzar, ciclos limites associados a sistemas periódicos e no caso de termos sistemas com duas frequências caraterísticas (como a frequência de como planeta orbitando estrelas e a precessão nessa orbita) as quais não são múltiplas , resulta em trajetórias sobre um touro, e o mais espetacular, chamado de atrator estranho.

Devemos a Stephen Smale (decada dos 60) a primeira tentativa de explicar as propriedades caóticas de um sistema dinâmico através de transformações topológicas no espaço de fase; essas transformações ficaram conhecidas como ferradura de Smale, e pode ser entendida da seguinte forma:

"tomemos um quadrado, estiquemo-lo até ficar um longo rectângulo fino, dobremo-lo em ferradura e coloquemo-lo sobre o quadrado original. Iterando este processo, é fácil ver que o segundo passo produz uma espécie de ferradura dentro da ferradura, com três dobras (ver Figura 2.3). Cada iteração duplica as dobras existentes e adiciona-lhe outra ainda. Assim, no limite deste processo obteríamos um tipo de curva infinitamente contorcida. Escolhendo dois pontos vizinhos no quadrado original, não se poderá adivinhar onde eles estarão no fim. Ficarão arbitrariamente afastados um do outro pelo encurvamento e esticamento. A ferradura forneceu uma clara analogia visual da sensibilidade às condições iniciais que Lorenz iria descobrir mais tarde, no estudo do clima. A ferradura de Smale tornou-se uma das primeiras formas geométricas capazes de descrever um sistema dinâmico, mostrando a presença da imprevisibilidade da dinâmica a longo prazo, mesmo quando a lei de evolução do sistema seja totalmente determinista." (texto retirado do artigo: Dinâmica simbólica e ferradura de Smale - Fernanda Amélia Ferreira - Revista de Estudos Politécnicos Polytechnical Studies Review 2007, Vol V, no 8, 183-199)
Figura 08: Ferradura de Smale.

As vezes o atrator para o qual o sistema dinâmico converge é complexo de mais para ser analisado (ou mesmo entendido), sem falar da possibilidade do espaço de fase do sistema ser maior do que 3 dimensões. Para esses casos Poincaré inventou um método que nos permite ver dentro da estrutura, o método consiste em colocar um plano que corte o atrator em qualquer posição do mesmo e analisar os pontos deixados pelas orbitas (do atrator) que interceptam o plano, a esse plano se lhe conhece como seção de Poincaré. Outra forma de construir a seção de Poincaré é colocando o plano a intervalos regulares que coincidente com uma dos períodos naturais do sistema por exemplo, para o caso de um pêndulo forçado poderíamos utilizar a frequência da força externa.

Fragmento do filme, Caos - Uma aventura matemática, criado por Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Do ponto de vista matemático, uma definição de atrator seria: subconjuntos limitados do espaço de fase para os quais regiões de condições iniciais de volume diferente de zero tendem assintoticamente quando o tempo cresce.

Identificando um sistema caótico

Uma das caraterísticas necessária (mas não suficiente) para um sistema ser considerado caótico é sua extrema sensibilidade às condições periódica por tanto, se sabemos que um sistema apresenta essa caraterística, imediatamente se torna potencial candidato à ser caótico, no entanto, o que entendemos por sensibilidade extrema às condições iniciais?

Fragmento do filme, Caos - Uma aventura matemática, criado por Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Para entender isso devemos recorrer ao jogo de bilhar, o fundamente desse jogo é "a lei de reflexão", a partir dessa lei o jogador de bilhar tem a possibilidade de calcular a trajetória da bola sobre a messa. Mas, além do fundamento antes mencionado existe outra condição necessária a ser satisfeita, a trajetória seguida pela bola no caso de uma tacada inicial ligeiramente diferente da trajetória ideal. Essa condição é ilustrada no vídeo acima, primeiramente é tacada a bola numa certa direção, a seguir essa direção é mudada ligeiramente e como resultado se obtém uma trajetória muito similar à primeira.

Agora, se a mesa de bilhar é mudada para uma forma similar à dos estádios, temos um resultado completamente diferente. No vídeo acima se mostra a trajetória de duas bolas (não interagente) as quais partira de uma posição vertical com uma diferencia menor à 5% da largura da mesa, note que após algumas colisões, a trajetória de ambas das bolas são completamente diferentes, essa é a essência da sensibilidade às condições iniciais. A pergunta a seguir é, temos como quantificar essa sensibilidade?, a resposta é sim, e para isso utilizamos as ideias de Aleksandr Mikhailovich Lyapunov.

Figura 09: Trajetórias seguidas numa bilhar esférico e um em forma de estádio.

Antes de expressar a ideia de Lyapunov quero mostrar que mesmo no caso de uma mesa oval as trajetórias se mantém uma muito próxima umas das da outras como mostra a figura abaixo onde temos 500 partículas não interagentes que partem de forma mais o menos compacta de uma pequena região, a macha vermelha que se observa é a superposição dos diversos vetores velocidades das partículas, essa simulação foi realizada por Nils Berglund

O bilhar circular é um sistema integrável (não caótico), as trajetórias seguidas por cada partículas são regulares.

No caso de um bilhar em forma de estádio, as partículas rapidamente exploram todo o espaço (de fase) acessível, esse sistema, diferente do anterior, é um sistema ergódico.

O bilhar estádio é um sistema ergódico (caótico), as trajetórias seguidas por cada partículas não são regulares.

O expoente de Lyapunov

Consideremos a seguinte equação diferencial $dx/dt=f(x)$, seja $x_e$ um ponto fixo, isto é $f(x_e) = 0$. A estabilidade de $x_e$ fica totalmente determinada pelo sinal da derivada $\lambda = \left.df/dx\right|_{x_e}$. Consideremos a trajetória $x(t)$ a qual foi inicialmente perturbada em $\delta x_0$ do ponto de equilibrio $x_e$, ou seja $x(0) = x_e + \delta x_0$, o deslocamento $\delta x(t) = x(t) - x_e$ evolui no tempo segundo \[ \dfrac{d\delta x}{dt} = \lambda \delta x \]

Tsingou-Fermi-Pasta-Ulam
Pendulo Forçado
Bola Quicando
Mapa Logístico