Física Contemporânea

só um divisor
Figura 13: Emmy Noether

Teorema de Noether

Uma das matemáticas mais influente de todos os tempos, suas contribuições no campo da teoria de álgebra abstrata (álgebra não comutativa, anéis e transformações lineares) e topologia (diferenciais e invariantes algébricos), sua importancia era tanta na época que ela foi chamada por David Hilbert e Felix Klein para se unir a seu grupo de pesquisa na universidade de Göttingen, no entanto os membros da faculdade de Filosofia dessa universidade foram contra, argumentando que seria inaceitável que uma mulher lecionasse aulas para os soldados que após a guerra estariam retornando na Universidade, a essa ESTUPIDES Hilbert respondeu

Não vejo como o sexo da candidata possa ser um argumento contra sua admissão como "privatdozent". Além disso, estamos em uma universidade, não em uma casa de banhos

Na sua estadia com Hilbert (não foi aceita, mas ela ficou lá mesmo) demostrou um dos teoremas mais importantes para Física conhecido como Teorema de Noether: toda simetria diferenciável da ação de um sistema físico tem associada uma lei de conservação. A partir desse teorema obtemos que

O mais legal é que esse teorema é de mão dupla, uma lei de conservação sempre estará associada a algum tipo de simetria do sistema.

Conservação do momento linear

Se consideramos que nosso espaço é homogêneo é de se esperar que o Lagrangiano não seja afetado pela escolha de um ponto particular de referencia, de forma que uma variação arbitraria realizada nas coordenadas resulte em uma variação nula do Lagrangiano (ou seja o lagrangiano é invariante em relação a uma translação arbitraria), isto é

\[ \boldsymbol{r} \to \boldsymbol{r} + \epsilon \delta \boldsymbol{r} \Rightarrow \delta L =0 \]

o que resulta em \[ p_i = m\dot{x}_i = \text{constante} \]

Conservação do momento angular

Se nosso espaço é isotrópico então a escolha da direção de um sistema de referencia pode ser feita de forma arbitraria, isso implica que dada um rotação virtual infinitesimal nas coordenadas de um sistema de referencia deve resultar no lagrangiano que se tinha antes da rotação. Devemos destacar que é necessário que as rotações sejam infinitesimais uma vez que rotações finitas nem sempre podem ser consideradas como sendo vetoriais.

Figura 02: Rotações macroscópicas não são comutativas

A fim de ilustra isso preste atenção na figura acima, no primeiro caso e realizada uma rotação de $+\pi/2$ rad em torno do eixo 1 seguidamente é realizada uma rotação de $-\pi/2$ rad em torno do eixo 2, no caso 2 primeiro é feita uma rotação de $-\pi/2$ rad em torno do eixo 2 seguida de uma rotação de $+\pi/2$ rad em torno do eixo 1, o resultado dessas operações foram configurações diferentes entre si, por tanto $\boldsymbol{\theta}_1 + \boldsymbol{\theta}_2 \neq \boldsymbol{\theta}_2 + {\theta}_1$; no entanto, se as rotações são infinitesimais se verifica $\delta \boldsymbol{\theta}_1 + \delta \boldsymbol{\theta}_2 = \delta \boldsymbol{\theta}_2 + \delta {\theta}_1$

Figura 02: Variação rotacional do vetor posição

Esperamos que num espaço isótropo seja verdade que

\[ \delta \boldsymbol{r} \Rightarrow \delta L = 0 \]

o que implica em que o momento angular é uma constante \[ \boldsymbol{L} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = \text{constante} \]

Conservação da energia

Vamos supor que o nosso lagrangiano não depende explicitamente do tempo $L = L\left(q,\dot{q}\right)$

\[ \dfrac{\partial L}{\partial t} = 0 \]

dessa forma obtemos que o Hamiltoniano está dado por \[ H = 2T - T + U = T + U \] Note que o Hamiltoniano só é a energia do sistema se a energia cinética, escrita em coordenadas generalizadas, é uma forma quadrática homogênea das coordenadas e se a energia potencial independe do tempo.