Física Contemporânea

só um divisor

A Distribuição Normal

Na aula anterior mencionamos que os físicos entendemos muito bem quando um fenômeno deve ser gaussiano, sempre que tivermos eventos aleatórios descorrelacionados teremos que eles poderão ser descritos por uma distribuição gaussiana, mas realmente entendemos o que isso quer dizer? Eu acho que entender isso é fundamental uma vez que a nossa mecânica estatística descansa seu fundamentos sobre esta distribuição, sem falar de que cotidianamente utilizamos a expressão isso é normal, sem saber que ao realizar essa afirmação estamos colocando a quase que 70% da população em análise nessa categoria. Por outro lado, erros experimentais em geral são descritos mediantes o uso de uma distribuição gaussiana. Em fim, é importante entender um pouco mais sobre essa importantíssima distribuição

A Distribuição Binomial

Antes de entramos de cabeça em modelos Físicos que fundamentalmente são aproximados por essa distribuição, vamos revisar a matemática dessa distribuição. A história da função de distribuição normal tem sua origem numa observação realizada por Abraham de Moivre ao analisar a distribuição assumida por $n$ eventos binários independentes, para entender melhor vamos supor que temos n moedas, qual é a probabilidade que 1 delas sejam cara e o resto coroa? e 2 delas? e assim sucessivamente.

Para responder à pergunta anterior vamos definir o seguinte, ma moeda tem duas fases, então a probabilidade de obter cara será \[ p = 1/2 \] e a probabilidade de obter coroa será \[ q = 1 - p = 1/2 \] Agora suponha que nos realizamos $2$ lançamentos diferentes ou, equivalentemente, lançamos simultaneamente $2$ moedas ao ar, qual será a probabilidade de se obter 0, 1 e 2 caras?, a tabela a seguir apresenta todos os resultados possíveis

Resultado 1º lançamento 2º lançamento notação
1 cara cara (1, 1)
2 cara coroa (1, 0)
3 coroa cara (0, 1)
4 coroa coroa (0, 0)

A partir da tabela anterior inferimos que a probabilidades desejadas estão dada por

Caras Probabilidade
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Se nos colocamos num gráfico os resultados obtidos obteremos o seguinte diagrama de barras

Figura 01: Distribuição de probabilidade do lançamento de duas moedas.

Observe que na primeira tabela temos uma coluna chamada de notação, que na verdade expressa a seguinte ideia, se dizemos que obter uma cara pode ser representado por 1 e obter uma coroa pode ser representado por 0, então, a sequência (1,0) significa que no primeiro lançamento obtivemos cara e no segundo coroa. Essa notação é super interessante pois permite escrever coisas como {(1,0,0), (0,1,1), (1,0,1)}, o que significa que temos 3 moedas e quando elas foram lançadas ao ar na primeira vez obtive cara, coroa, coroa, na segunda vez, coroa, cara, cara, e na terceira vez cara, coroa, cara.

Nos primeiros dias dos cursos de probabilidade se aprende que quando se tem dois eventos $A$ e $B$, a probabilidade de que aconteça o evento $A$ seguido do evento $B$ e se $A$ e $B$ são eventos independentes então a probabilidade dessa ocorrência estará dada por \[ P(A\cap B) = P(A)\,P(B) \] o que se conhece como regra do produto das probabilidades. Agora, se desejamos saber qual é a probabilidade de ocorrência do evento $A$ ou do evento $B$, considerando que o evento $A$ impossibilita o evento $B$ e vice-versa (mutuamente exclusivos), teremos \[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) \] que é a chamada regra das somas das probabilidades

Do anterior vemos que a probabilidade de se obter cara e depois coroa estará dada por $1/2 \times (1 - 1/2)=1/4$, enquanto que a probabilidade de se obter cara e coroa ou cora e cara será $1/4+1/4=1/2$

Vamos supor que temos 3 moedas, qual é a probabilidade de obter 2 caras?. Nesse caso teremos os possíveis seguintes eventos: {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0,1,1)}, observe que todas as subsequências tem a mesma probabilidade {ppq, pqp, qpp}, onde p=1/2 e q=1/2, resultando em 1/8, como temos 3 possíveis sequência, então a probabilidade de se ter aquela sequência será 3*1/8 = 3/8.

Podemos generalizar esse resultado da seguinte forma, primeiramente observamos que todas as subsequências que forma a sequência tem a mesma probabilidade, na verdade importa saber é o número de eventos caras, $k$ e o número total de eventos, $n$, assim o número de eventos coroa será $n-k$. Assim a probabilidade de uma dada subsequências será \[ p^k(1-p)^{n-k}=p^kq^{n-k} \] a próxima questão é, de quantas formas diferentes posso obter $k$ caras num total de $n$ moedas.

Analise Combinatório

Para responder a essa pergunta vamos responder primeiro, De quantas formas diferentes posso permutar n objetos distinguíveis, de forma a obter conjuntos diferentes. O primeiro objeto pode ser escolhido de n formas diferentes, o segundo objeto poderá ser escolhido de n-1 formas diferentes, o terceiro será n-2, e assim sucessivamente, por tanto teremos até que o total de formas será n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n!, \[ P_n = n! \] por exemplo, a palavra ABC tem 3 letras, as quais podem formar até 3!=6 palavras diferentes se permutadas:

ABC ACB
BCA BAC
CAB CBA

A próxima situação é, se eu tenho 4 letras ABCD, quantos arranjos sem repetição de letra de 3 a 3 podem ser formados (aqui a ordem importa)

ABC ACB BCA BAC CAB CBA
BCD BDC CDB CBD DBC DCB
CDA CAD DCA DAC CAD CDA
DAB DBA ABD ADB BDA BAD

Neste caso só temos três lugares para quatro letras, por tanto, de quantas formas pode ser preencho o primeiro lugar, de 4 formas, escolhida a primeira letra sobrem 3, agora, de quantas formas pode ser preenchido o II lugar, de 3, agoram sobram 2 para o último lugar, por tanto pode ser preenchido de 2 formas, essa forma de escolha garante conjunto diferentes, assim \[ A^p_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-p+1) \] Suponhamos que $n=8$ e $p=4$, então \[ A^8_4 = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 \] note que esse resultado é uma parte de \[ 8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 \boldsymbol{\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \] onde a parte em negrito é \[ 4! = (8-4)! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \] de fato \[ A_p^n = \dfrac{n!}{(n-p)!}\qquad p\leq n \]

Agora a questão é, se nos levamos em consideração que não existe distinção entre eventos como ABC, ACB, CAB, CBA, BAC, BCA, então eu tenho que remover da minha lista todas as permutações com os $p$ elementos, nesse caso teremos uma combinação que na verdade responde a nossa pergunta original, de quantas formas diferentes podem ser arranjados $p$ elementos sem que nelas tenha repetição, \[ C_p^n = \begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\qquad p\leq n \]

Para maior detalhe ver Permutações.

Distribuição Binomial

Com o resultado anterior podemos generalizar a nossa equação de distribuição de caras e coroas, \[ P(k) = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} p^kq^{n-k} \] sendo $n$ o número de tentativas, $k$ é o número de acertos (caras), $p$ é a probabilidade de acertar e $q=1-p$ é a probabilidade de não acertar.

Como exemplo consideremos que realizamos o lançamento de 10 moedas simultaneamente, qual é a probabilidade de obter cara nas 10 moedas \begin{align*} P(10) &= \dfrac{10!}{10!\,(10-10)!} 0.5^{10} 0.5^{10-10}\\ &= 0.5^{10}\\ &= 9,766\times 10^{-4} \end{align*} o qual é exatamente o resultado esperado, uma vez que seria multiplicar 0,5 10 vez (devido às 10 moedas)

Distribuição Normal

Figura 02: Distribuição de probabilidade do lançamento de $n$ moedas.

Na figura acima apresentamos a curva de distribuição obtida para o lançamento de n = 8, 16, 32, 64 moedas. Podemos deduzir que no limite de $n\to \infty$ essa curva terá a forma de uma campana, de fato, pode ser mostrado (ver aqui a demonstração) que nesse limite a distribuição binomial pode ser bem aproximada pela chamada distribuição normal ou Gaussiana.

Esse resultado, de certa forma, está relacionado ao Teorema central do limite, o qual diz que quando variáveis independentes são somadas, sua soma tende à distribuição normal mesmo que as variáveis originais não seja obtidas a partir de uma distribuição normal.

O caminhante aleatório

Este é um dos primeiros problemas tratados em vários livros de Mecânica estatística e é um dos trabalhos do ano miraculoso de Einstein. A forma mais simples de abordar ele é através do problema do marinheiro bêbado. Esse problema consiste no seguinte, considere um marinheiro que está bêbado no incio do pier (cais) e precisa caminhar até o outro extremo para chegar no barco, o problema é que está bêbado. Neste momento podemos nos fazer algumas perguntas, qual é a probabilidade de que ele chegue próximo do barco, se parte do meio do cais?

Marinheiro Bêbado

Para responder a essa pergunta podemos construir um programinha simples que nos dará simultaneamente algumas trajetória seguidas pelo marinheiro. Consideraremos que o trajeto a ser caminhado é de $nx$ passos. Igualmente consideraremos que em cada intervalo de tempo (médio, está bêbado) ele se desloca em diagonal, sempre para frente (em direção ao barco) porém pode ir para esquerda o direita. Para simular o bamboleio lateral devido à birita, vamos utilizar um gerador de números aleatórios o qual sorteará um número dentro do intervalo $[0,1)$, assim como não existe razão para ele preferir ir para esquerda ou para direita, é adequado atribuir uma probabilidade de 50% para cada lado, isso será simulado da seguinte forma, se o número sorteado for maio menor do que 0.5 então o caminhante será deslocado para direita, caso contrário será à esquerda.

Figura 03: Deslocamento quadrático médio de 50 caminhantes aleatórios.

Várias informações relevantes podem ser obtidas a partir desse simples modelo, a mais relevante delas é o chamado Deslocamento quadrático médio. Para calcular esse deslocamento simulamos o trajeto seguido por 50 caminhantes, com $nx=100$ e $prob = 0.5$. A posição de cada caminhante foi elevada ao quadrado e calculamos a média de todas essas posições (qual séria a média se não fosse elevado ao quadrado cada ponto?). O resultado dessas operações (feitas no libreoffice) apresentado no gráfico acima. Note que até t=50 o comportamento e $\left< x^2 \right>$ para ser um, depois disso muda, essa inicio se denomina região balística e será tanto menor quanto melhor forem os dados (mais médias - lei dos grandes números). Note que o ajuste que realizamos foi \[ \left< x^2 \right> = 2D\,t \] e propositalmente coloco que a constante é $2D$, sendo $D$ a chamada constante de difusão.

Difusão

A difusão é responsável por alguns fenômenos cotidianos, por exemplo, sentir cheiros, como as moléculas de um perfume parte de uma fonte e se espalham por todo um ambiente? Similarmente, quando colocamos leite no café, porque a leite se propaga?

A resposta a estas perguntas teve inicio quando, o botânico, Robert Brown em 1827 observou por primeira vez o movimento de sub partículas de grãos de polem sobre a superfície de um líquido, a simulação a seguir mostra como deveria ter sido a observação de Brown (tem surgido duvidas sobre se Brown teria sido capaz de observar esse movimento com os microscópios da época)


No entanto, após a divulgação dos resultado, ninguém deu uma explicação satisfatória sinão até 1905 quando Albert Einstein formula sua teoria da Difusão (o artigo original traduzido ao ingles está aqui).

\[ \dfrac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 \rho(x,t)}{\partial x^2} \] onde \[ D = \dfrac{1}{2\delta t}\int_{-\infty}^{\infty} \xi^2 \phi(\xi;\,\delta t) d\xi \]

Para o caso específico do caminhante aleatório em uma dimensão, se chamamos de $s_i = \pm 1$ é o valor adicionado a $y$ no $i$-essimo passo, a posição em $y$ depois de $n$ passos será \[ y_n = \sum _{i=1}^n s_i \] igualmente teremos \[ y_n^2 = \sum _{i=1}^n \sum _{j=1}^n s_is_j \] note que para $n\to \infty$ teremos que os únicos termos que sobreviverão à soma são aqueles onde $i=j$, por tanto deverá sobrar \[ y_n^2 = \sum _{i=1}^n (ns_i)^2 \] ou \[ \left< y_n^2 \right> = n \] por tanto este resultado nos diz que teremos a difusão sendo igual a \[ D_{1d} = 1/2 \]