Física Contemporânea

só um divisor

Introdução à complexidade

Quero inciar este texto colocando no ar uma pergunta polemica, como se crio a vida no universo? É claro que essa pergunta é feita a professores que ensinam Física, por um professor de Física, o que de imediato elimina a possibilidade de resposta baseadas em alguma cosmogonia mítica (isso inclui as religiosas).

Do ponto de vista das ciências Físicas, considerando a teoria mais aceita correntemente tem aproximadamente $15\times 10^{9}$ anos (WAP diz que é aproximadamente $13,7\times 10^{9}$). Não temos como saber exatamente como foi no inicio, o máximo que podemos conjeturar é a partir de $t > 10^{-43}\,s$ do seu nascimento, este número é conhecido como tempo de Planck (e o período prévio a esse valor é conhecido com época de Planck). Segundo o Big Bang (grande explosão), o Universo se expandiu desde algo inferior a $1\,mm$ até chegar próximo do tamanho que temos atualmente.

Entre 10 milissegundos e 1000 segundos (~17 minutos) aconteceu o que se conhece como núcleo sínteses, que foi o período no qual foram criados os elementos mais abundantes do Universo, o Hidrogênio (~75%) e o Hélio(~25%). No final da era da escuridão, que fica entre 300 - 500 milhões de anos apos o big bang, são formadas a primeiras estrelas (e as galaxias), conhecidas como III população, as quais se caraterizam por não terem metais, serem gigantes ($10^6$ massas solares) e de vida curta. Eventualmente essas estrelas explodiram e deram passo às estrelas das II e I população as quais são as nossas estrelas velhas e jovens (como nosso sol). É dessas estrelas que foi gerado o Carbono, Oxigênio Nitrogênio que nos compõe. O nosso sistema solar se forma entre 8,5 e 9,0 mil milhões de anos após o big bang e o que significa que nossa Terra tem algo como $4,5\times 10^9$ anos (A título de curiosidade, a Terra não é perfeitamente redonda, é quase como se explica em: Afinal, que formato a Terra tem?).

A vida propriamente dita aparece logo após a formação da Terra. Temos fósseis de 4,1 mil milhões de anos de antiguidade. As plantas tomaram a Terra a uns 450 milhões de anos e os animais aparecem sobre a Terra seca a uns 385 milhões de anos. Nos, seres humanos (homo Sapiens Sapiens), temos algo como 200 mil anos de existir sobre esta Terra.

OK, mais voltemos um pouco, uma coisa é entender a formação de estrelas galaxias e até planetas, são objetos cuja lei de formação é simples (gravidade), outra coisa é entender uma bactéria ou algo mais simples porém vivo? O que sabemos sobre como se deu esse processo inicial?

Existem várias teorias que tentam explicar o inicio da vida (a origem da vida a partir da matéria não viva é conhecida como abiogêneses) uma delas foi a teoria de da sopa primordial proposta independentemente por Aleksandre Ivanovitch Oparin e J. B. S. Haldane. A ideia principal da Teoria é supor que vida foi originada espontaneamente a partir dos elementos existentes na atmosfera inicial da Terra que, segundo eles, deveria conter metano, amônia, Hidrogênio e vapor de água (ele foi influenciado pela descoberta da composição atmosférica de Júpiter). Ele também considerou que a energia necessária para a formação das primeiras moléculas orgânicas teria com origem as descargas elétricas e radiação ultravioleta proveniente do Sol. Uma vez formadas essas primeiras moléculas estas eventualmente iriam parar nos mares (em formação) os transformando na sopa primordial. A partir desse momento já se sabia que esses compostos orgânicos primordiais em água formariam proteínas.

A teoria de Oparin-Haldane foi colocada a prova pelo aluno de graduação Stanley L. Miller, supervesionado pelo professor Harold C. Urey, ex aluno de Niels Bohr e ganador do nobel de Química. O experimento de Miller e Urey colocou dentro de um balão aqueles gases propostos por Oparin-Haldane o quais foram submetidos a descargas elétricas. Como resultado desse processo obtiveram aminoácidos, que são os blocos primários para a construção dos seres vivos pois são os formam as proteínas. Atualmente se acredita que a atmosfera primitiva da Terra era constituída principalmente por Dióxido de Carbono e não como Oparin-Haldane acreditavam no entanto, esse tema está ainda em debate pois resultado recentes indicam que algo similar à atmosfera redutora de Oparin-Haldane existiu. O surpreendente é que em 1969 um meteorito caiu na região de Muchison, Vitoria, em Austrália, ao ser estudado se observou que este meteorito continha muitos do aminoácidos obtidos no experimento de Miller e Urley de origem extraterrestre (após muitas analises esse fato é confirmado). Essa descoberta acalenta um novo debate sobre a origem da vida, nos somos terrestres ou somos de origem extraterrestre?, essa hipóteses é conhecida como panspermia.

A panspermia não é uma ideia exorbitante, Louis J. Allamandola desenvolveu um instrumento que simula as condições encontradas em vários lugares do espaço (frio, vácuo e radiação ultravioleta), o resultado do seu trabalho foi a obtenção de materiais orgânicos fundamentais para a vida. Um desdobramento do seu trabalho foi o aperfeiçoamento dos instrumentos de medida astronômica a ponto de serem capazes de apontar a existência real desses compostos orgânicos em muitos pontos do espaço.

Além dessas duas teorias propostas temos outras, como a das fontes hidrotermais, do desenvolvimento en cavernas, etc, que tentam explicar a origem dos blocos fundamentais e o interessante é que todas tem mais o menos o mesmo sucesso na sua explicação, de forma que nos no sabemos exatamente qual foi o mecanismo, nem mesmo se só foi um mecanismo. Seja como for isso ainda é o inicio do problema pois isso não é vida ainda, é química orgânica. Para podermos entender como se originou a vida devemos primeiramente definir o que é vida?, o problema é que não temos uma definição clara para isso. Segundo a NASA vida é um sistema químico autossustentável capaz de evoluir. Bom, não sei se essa é a melhor definição e bom de certa forma essa definição parece aplicável a coisas da terra, mesmo a nossa formas mais simples aqui na Terra, as baterias. Para a grande maioria dos cientistas uma forma de vida tem que ter as seguintes caraterísticas: algo que o isole do meio, tem que se replicar e metabolizar.

A caraterísticas que definem quando algo está vivo deixam claro que somente obter os blocos fundamentais não é suficiente, agora devemos pensar em como se deu a criação da estrutura que permitiu aos seres vivos se replicarem e aquela que permitiu aos seres vivos metabolizar. Existem algumas teorias que tentam explicar como era o primeiro replicador, uma das mais famosas é a teoria do mundo do RNA, nessa teoria supõe-se que os primeiros organismo não tinham DNA e sim um RNA e que esse RNA fazia tudo, ele metabolizava e replicava. A pergunta que antecede é como se chego a esse ponto? muitos propõe que aconteceu uma especie de evolução Darwiniana em nível químico onde a complexidade dos polímeros de carbono foi tal que se chegou ao tanto ao RNA como, seguidamente, até chegar ao RNA. (para maior informação protocell e em Como a Vida se Originou)

A Vida como uma emergência

Poderíamos passar algum tempo discutindo os possíveis mecanismos que deram origem à vida para concluirmos que nos não temos uma única opção e sabem o que, isso nem importa mesmo, o que importa é saber que a vida apareceu sim a necessidade de nada intervindo para isso acontecer, só é necessário as leis da Física que regem este Universo. É claro que não quero retirar a importância devida que as pesquisas mais fundamentais tem, mas desde uma perspectiva um tanto filosófica termos como afirmar categoricamente que a vida é porque tem que ser é muito importante.

Exitem, então, outras linhas que nos permitem abordar o problema da origem da vida e com veremos elas culminam num rotundo é inevitável. A abordagem que vou apresentar agora está baseada na proposta de Stuart Kauffman, vou tentar traduzir um pouco do que ele propõe no seu livro "At home in the Universe - The search for law of selforgnaization and complexity".

A analise de Kauffman parte no momento em que os primeiros blocos de vida surgem na Terra, como vimos existem n possibilidade para isso poder acontecer, por tanto daremos com certo. Mas, em lugar de se perguntar o que acontece a seguir (ovo ou galinha) ele diz, esquece tudo e vamos nos perguntar se é possível que apareça reações químicas que sejam auto catalíticas. Vamos entender um pouco isso, um catalisador é, neste contexto, uma molécula - composto que aceleraria uma determinada reação, de forma que uma reação auto catalítica será aquela na qual um de seu produtos influência em outro, por exemplo, na figura acima (que é do livro de Kauffman) se mostra uma representação (chamada de grafo pelos matemáticos ou de rede pelos físicos) de uma reação química que acontece entre as substancias $A$ e $B$, para ser específico, a reação se da nos pontos de encontro chamados de nós ou vértices, como resultado dessa reação temos um par de dímeros. $AB$ e $BA$, o interessante é nesta rede o dímero $AB$ é o catalisador para a reação que gera o dímero $BA$ e vice versa, é a isso que chamamos de reação auto catalítica.

Vamos considerar agora um cenário mais complexo, vamos supor que nossa sopa primordial consegue gerar os blocos fundamentais $a$, $aa$, $b$, $bb$ (representadas por elipse inscritas em elipses na rede) esses blocos são a fonte de alimento (por isso chamaremos de alimento ou bloco fundamental) é são acessíveis de forma regular. Agora a rede representa todas as possíveis combinações de novos polímeros que podem ser obtidas a partir desses componentes básicos, lembrando que o quadrado e a linha representam a reação que da origem aos novos polímeros. Mas preste atenção ao fato de que não são os mesmos $a$, $aa$, $b$, $bb$ que criam todas as reações, eles são, por dizer assim, as pecinhas do lego, você monta tantas combinações puder porque tem uma fonte de pecinhas abundante, só que os produtos de I geração (tipo $aa + ba \to aaba$, $a + b \to ab$) coexiste com os elementos originais e podem criar novos elementos ($aaba + a \to aabaa$) ou se recombinar e formar polímeros maiores e mais complexos ($aaba + ab \to aabaab$). E as regras de combinação que você pode criar (o pensar) são varias, por exemplo, podemos permitir a ruptura do polímero para se recobinar com outro polímero, podemos impor que os polímeros mais simples sejam sempre colocado nos extremos dos mais complexos ou o contrario, em fim, um mundo de possibilidades.

Do ponto de vista Físico essa rede acima é possível, o problema é que isso não levaria á vida pois nem sempre seria possível termos simultaneamente $aaba$ e $ab$ para formarmos $aabaab$, até pode ser que eles apareçam juntos, mas separados espacialmente o que significa que a probabilidade de combinação é quase nula. E é aqui onde entra o catalisador, como ele a reação acontece mais rapidamente e por tanto coexistência de novas fases se torna possível. Se nossos produtos e até alimentos são capazes de serem os próprios catalisadores então este sistema se torna auto sustentável (desde que tenha alimento, é claro). Note que nosso objeto é formar cadeias cada vez mais complexas a ponto de podermos ter coisas como o RNA ou o ADN, por tanto precisamos que a aumente o número de reações, mas será que teremos tempo para isso???

Na verdade Kauffman explica isso utilizando um modelo de brinquedo, vamos supor que temos um rede, no exemplo acima a rede tem 20 sítios (chamados de nodes - nodos - na figura), agora vamos escolher aleatoriamente 2 sítios e estabelecer um vínculo (chamados de edge - arestas - na figura) entre eles, depois escolhemos outros 2 sítios (permitimos a repetição), e assim sucessivamente. Parece obvio que a medida que aumentamos os vínculos a probabilidade de termos mais de dois sitio participando de união aumenta. Notem na figura que essa probabilidade pode ser medida utilizando a razão de vínculos para sítios. Também podemos observa que podemos definir um tamanho de ligação se contando o número de participantes que se mantém ligado por uma mesma linha (na figura b temos vínculos de tamanho 5, 3 e 2, por exemplo).

Rede aleatória

O tipo de modelo de brinquedo discutido acima se denomina de rede aleatória e ela se carateriza por sofrer uma transição repentina no máximo tamanho da ligação se a razão entre vínculos e sítios está acima de 0,5. O script acima te permite visualizar diversas configurações para um mesmo número de nós e número de vínculos, simplesmente tens que clicar sobre o desenho e veras a nova configuração.

Na figura acima apresenta-se o comportamento da razão entre o número de vínculo e a quantidade de sítios máximas na rede, observa-se que a medida que a quantidade de sítios disponíveis aumenta aumenta a probabilidade de se obter vínculos nos quais participem quase todos os elementos da rede . Para redes de maior tamanho espera-se que essa mudança seja abruta próximo de 0,5, como se mostra na figura embaixo (teoricamente feita para 400 sítios).

Kauffman defende assim que a vida é uma emergência dos sistema (deve ser esclarecido que a própria emergência continua até hoje, e sua competição com a evolução Darwiniana resulta no complexo mundo que rodeia). Do ponto de vista físico nos dizemos que um fenômeno é emergente quando o todo é muito maior do que a soma da suas partes. Isso quer dizer que ao se combinarem pequenas entes, aqui sendo representado pelas moléculas de carbono, resulta no surgimento de novas propriedades não antes observadas nos entes individuais, que nosso exemplo é a propriedade autocatálise que daria inicio à vida.

Transição de Fase, depende da regra

Obviamente nunca poderemos saber como se originou a vida, só poderemos formular hipóteses e testar essas hipóteses com a esperança de ganhar mais conhecimento, no entanto, o modelo de Kauffman tem dentro de sim um ingrediente muito interessante, ele parte com blocos fundamentais (alguns chamam de agentes) e esses blocos se combinam entre si para formar estruturas muito mais complexas do que eles de forma a criar algo que é muito maior do que a soma de cada parte. É claro que dentro da Física temos inúmeros exemplos disso e citando um deles (ainda simples) é a foma como os átomos se organizam para formar estruturas cristalinas mas, neste caso, a regra é bem complexa (Mecânica Quântica) se comparada com a regra proposta por Kauffman para a formação do de polímeros (na verdade é uma questão de escala, no caso de Kauffman ele abre mão da interação fundamental, descrita pela quântica; ao fazer isso ele pode explorar outro universo de soluções). A pergunta que segue é, será que podemos pensar alegremente em regras simples para entender a natureza, a resposta é sim, existe inúmeros sistemas físicos descritos dessa forma, e todos eles tem em comum o fato de serem extremadamente complexo para serem entendido a partir de seus componentes originais e por isso eles são categorizados como Sistema Complexos.

Antes de falar sobre o que é um sistema complexo eu quero mostrar outro exemplo que, a diferença do modelo de Kauffman, ele é um sistema com o qual esbarramos em algumas tardes quando olhamos para os céus; estou falando do movimento organizado dos pássaros. Observa que agora não falo de átomos, moléculas, nada disso, o meu agente é o pássaro e eu que descrever o seu vô quando está em bando, e não estou falando do movimento espacialmente organizado que aves utilizam para migram (formação em V), falo de aquele movimento que localmente é desordenado mas globalmente apresenta uma ordem estonteante, como a mostrada no vídeo a seguir.

Se você olha para as formas que os pássaros desenham nas suas revoadas, parece até que se trara de um organismo vivo. O impressionante é que esse tipo comportamento é observado em outros seres vivos como as baterias (E. Coli, no vídeo)

nos peixes, como as sardinhas,

E nos seres humanos. No video abaixo apresenta-se o lugar onde acontece a maior concentração de seres humanos no mundo, cerca de 3 milhões de pessoas convergem à Meca (Arábia Saudita) todo ano para celebrar o Hijj ou Hadj, durante a celebração o peregrino deve efetuar 7 voltas em torno da Kaaba (ou Caaba)

Entender sistema como esse são de vital importância, pois nos permitiria, entre outras coisas, evitar desastres como o ocorrido em 2015 em Mina (perto da meca) onde quase 2300 pessoas morreram devido a uma estampida.

Todos os sistemas acima citados podem ser descrito por simples regras como mostrou, Craig Reynolds, no seu modelo (conhecido com boids), Reynolds propões que os agentes sigam as seguintes regras simples:

  1. Separação: não amontoe em cima de seus vizinhos;
  2. Alinhamento: mantenha o rumo da média dos seus vizinhos;
  3. Coesão: mantenha-se em uma posição média que não afaste você de seus vizinhos.

A implementação desse modelo se mostra na animação a seguir onde é simulado o comportamento de um grupo de agentes (aqui parecendo peixes) num espaço bidimensional

O que um Físico puro procura quando analisa um tipo de sistema como esse, procura por mudanças. Como exemplo vamos seguir o estudo feito por Tamás Vicsek sobre o modelo que hoje é conhecido como modelo de Vicsek (publicado na Physics Review Letters, Vol 75(6), pg 1226 de 1995). O modelo de Vicsek é um tipo de modelo de automato celular no qual as células se movem com uma velocidade que em módulo é fixa em $v_0$ mas que a sua direção é determinada pela media das velocidades de células vizinhas até uma certa distância $R$, dessa forma a velocidade, $\vec{v}_i$ e a posição $\vec{x}_i$ de uma célula $i$ está dada por \[ \begin{eqnarray*} \vec{v}_i(t+1) &=& v_0 \dfrac{\left< \vec{v}_j(t) \right>_R}{\left|\left< \vec{v}_j(t) \right>_R\right|} + \text{Perturbação}\\ \vec{x}_i(t+1) &=& \vec{x}_i(t) + \vec{v}_i(t+1) \end{eqnarray*} \]

Nessas equações $\left< \vec{v}_j(t) \right>_R$ é a média de velocidade das partículas vizinhas, que estão a uma distância $R$ da partícula $i$, e $\text{Perturbaçao}$ é uma perturbação aleatória na direção (ângulo) do vetor velocidade. Existem várias formas de conseguir isso, no trabalho original de Vicsek ele propôs que essa perturbação fosse introduzida variando o ângulo de todas as partículas que estivessem dentro do círculo de raio $R$ traçado em volta da partícula $i$ (isso incluí a propria partícula $i$). A modificação desse ângulo se da a partir da seguinte expressão \[ \vartheta_{i}(t+1) = \vartheta_i(t) + \xi_i \nonumber \] onde $\xi_i$ é um número aleatório escolhido entre $\left(-\dfrac{\eta}{2},\,\dfrac{\eta}{2}\right]$ e \[ \vartheta_i(t) = \arctan \left(\dfrac{\left< \vec{v}_{j,\,x} \right>_R}{\left< \vec{v}_{j,\,y} \right>_R}\right) \nonumber \] Além dessas variáveis e dos parâmetros $v_0$ e $\eta$ era necessário considerar a densidade do sistema, o que no fundo é o número de partículas do sistema.

Dizemos acima que os Físicos procuramos por variações, mudanças; no modelo de Kauffman essa variação era medida no comprimento do polimero que iria se formar, neste sistema o nos queremos ver é o passo do regime aleatório para o regime ordenado (já que os vídeos mostram isso), eles utilizaram para isso a velocidade média, normalizada, do sistema, isto é definiram o parâmetro \[ \varphi = \dfrac{1}{Nv_0}\left| \sum_{i=1}^N\vec{v}_i(t) \right| \nonumber \] dessa forma analizaram as mudanças nesse parâmetro, como resultado das mudanças dos outros parâmetros, como mostra a figura abaixo.

O primeiro desses gráficos deixa claro que o sistema é totalmente aleatório se o grau de desordem local, de cada sitio, é alto, o emprisionante é que esse descordem diminui na medida o desordem local, e a partir de aproximadamente $\eta = \pi$a ordem do sistema aumenta muito rapidamente. Vicsek argumentou que se o número de partículas aumenta-se a forma da curva teria uma descontinuidade abrupta próximo de $\eta = 3$, o que caraterizaria uma transição de I ordem (e dessa forma o surgimento abrupto da ordem a partir da desordem) no entanto, outros autores mostraram que o modelo de Vicsek no tinha esse tipo de transição mas, se você mudasse a forma como é introduzida a $\text{Perturbaçao}$ essa transição seria abrupta.

Força?, como assim

Assim vemos que a ordem surge espontaneamente do desordem se o parâmetro $\eta$ é diminuído, isso é "similar" ao que acontece com a água quando passa do estado líquido para o sólido, uma transição de fase, de fato, o Vicsek diz que o parâmetro $\eta$ é uma especie de temperatura do sistema, tentado estabelecer um vínculo com termodinâmica.

Mas esse tipo de forma extravagante de se utilizar os conceitos da Física para explicar processos naturais não é exclusividade de Vicsek, existem $n$ trabalhos que estendem as ferramentas das Física à ecologia, psicologia, sociologia, Economia, historia, etc. Só para citar um, escolhido aleatoriamente, Silverberg et. al. (Physics Review Letters 110(22) pg 228701 de 2013) quem analisou o comportamento das pessoas em concertos de Heavy Metal (isso mesmo!!!), especificamente quando elas formam os chamados "Mosh and Circle Pits"

O video acima é uma apresentação do grupo Avenged Sevenfold que aconteceu no Rock Am Ring em Nürburgring, Alemanha em 2011.

Silverberg e colaboradores utilizaram video analise para registrar a posição de cada uma das pessoas que participaram do mosh pit (aquele círculo com pessoas correndo) podem ser descritas por uma distribuição de velocidades de um gás ideal (distribuição de Maxwell-Boltzmann), isto é \[ N(v)dv ~v^2\exp{\left(-\dfrac{mv^2}{2k_bT}\right)}dv \nonumber \] Mas esse resultado não é surpreendente de forma alguma, já que

Na figura acima vemos uma cena de um dos "circle pits" (retirada do concerto de Hellfest de 2014 onde Avenged Sevenfold se apresentou, ver a partir do 1:15 no vídeo) analisados Silverberg et. al., observe que eles apresentam determinam a autocorrelação de velocidades, obtendo um comportamento exponencial, tipico de sistemas pouco correlacionados, e a distribuição de velocidades (chamada por eles de PDF(v) - "probability distribution fuction"), com a forma caraterística de uma distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann.

Como as leis de Newton são válidas eles podem o sistema por uma equação a la Langevin, isto é \[ m_i\dfrac{\vec{v}_i}{dt} = \vec{f}_i + \vec{\xi}_i - \eta \vec{v}_i \nonumber \] onde $m_i$ é a massa de cada partícula, $v_i$ é a velocidade da partícula no instante $t$, $\eta$ é uma viscosidade, $\xi$ é uma força aleatória que deve verificar a relação de Stoke-Einstein o que implica que o ruido aplicado deva ser branco (temporal e espacialmente descorrelacionado) \[ \left<\xi_{i,j}(t),\xi_{i,k}(t')\right> = 2\mu\sigma\delta_{j,k}\delta(t-t') \nonumber \] (nessa expressão o usual é escrever $\mu\sigma = k_BT$ e o segundo índice dize respeito a componente da força), onde $\mu=1$ e $\sigma$ é uma parâmetro, $f_i$ é a força total que cada individuo experimenta, e é aqui onde entra o modelo na realidade, a força eles dividiram em varias contribuições \[ f_{ij} = f_{ij}^{\text{repulsão}} + f_{ij}^{\text{propulsão}} + f_{ij}^{\text{floculação}} \nonumber \] onde a força de repulsão (necessária para obter o comportamento ideal) está dada por uma força tipo Hertz \[ \vec{f}_{ij}^{\text{repulsão}} = \begin{cases} \epsilon \left(1 - \dfrac{r_{ij}}{2r_0}\right)^{3/2}\hat{r}_{ij}, & r_{ij} < 2r_0\\ 0,& \text{para os outros casos} \end{cases} \nonumber \] nessa expressão cada individuo é considerado como sendo uma esfera de raio $r_0$, assim o termo $1-\dfrac{r_{ij}}{2r_0}$ representa a deformação das esferas no momento do contato; a força de propulsão, que provoca o movimento dos entes, é uma força do grupo (MASHing force) dada por \[ \vec{f}_{ij}^{\text{propulsão}} = \mu \left(v_0 - v_i\right)\hat{v}_i \nonumber \] sendo $v_0$ a velocidade média do grupo e $\hat{v}_i$ é um vetor unitário na direção que os vizinhos se movem; a força de floculação é a força de Vicsek, dada por \[ \vec{f}_{ij}^{\text{floculação}} = \alpha\dfrac{ \sum_{j=0}^{N_i} \vec{v}_j}{\left| \sum_{j=0}^{N_i} \vec{v}_j \right|} \nonumber \] sendo $\alpha$ a velocidade de floculação.

Para analisar seu resultados eles propõem comparar os tempos caraterísticos do sistema, eles observam que no seu sistema existiam 3 tempos caraterísticos, o tempo de floculação \[ \tau_{\text{floc}} = \dfrac{v_0}{\alpha}, \nonumber \] o tempo do ruído \[ \tau_{\text{ruido}} = \dfrac{v_0^2}{2\mu\alpha}, \nonumber \] e o tempo de colisão, dado por \[ \tau_{\text{col}} = \dfrac{1}{2r_0v_0\rho}, \nonumber \] dessa forma eles observam que o vórtice emerge naturalmente se $\tau_{\text{floc}} \ll \tau_{\text{ruido}}$ e $\tau_{\text{col}} \ll \tau_{\text{ruido}}$, o qual pode ser melhor entendido olhando para o diagrama de fases apresentado no trabalho

Para finalizar quero chamar a atenção ao fato de que as forças de que se falam neste trabalho não são forças, na verdade utiliza-se desse termo para expressar a ideia de uma quantidade que ao ser variada vai mudar o estado dinâmico do sistema, por tanto é um baita abuso de linguagem.

No fim coloco aqui um programinha em javascript desenvolvido por um dos autores deste artigo no qual podemos variar os parâmetros a fim de ver os vários estados assumidos pelo sistema.